人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列当堂达标检测题，文件包含专题五等比数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练2019人教B版选择性必修第三册原卷版doc、专题五等比数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练2019人教B版选择性必修第三册解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

专题五 等比数列
基本公式
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
2．等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．
3．等比数列的判定
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}是等比数列．
4．等比数列的性质：
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2)若已知等比数列{an}中的任意两项an，am，由an＝am·qn－m可以求得公比q＝
(3)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
5．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
6．等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列：
①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列．
②{|an|}是公比为|q|的等比数列．
③{a}(m为常数，m∈N*)是公比为qm的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
7．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列．
8．等比数列连续几项的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，a，aq，aq2…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，aq，aq3，aq5…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
例题分析
一、等比数列的通项公式
例1 (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3　　　　　B．4 C．5 D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析　(1)因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.
a＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案　(1)C　(2)2n
归纳总结：等比数列通项公式的求法：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
(对应训练一)在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解析　设首项为a1，公比为q.
(1)解法一：所以
由得q3＝4，q＝，又∵a1q3＝2，∴a1＝，an＝2.
解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝，an＝a4qn－4＝2.
(2)解法一：因为
由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，
所以32×n－1＝1，即26－n＝20，即n＝6.
解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝，
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32，由an＝a1qn－1＝1，
∴32×n－1＝1,32＝2n－1＝25，所以n＝6.
答案　(1) 2　(2)6
(对应训练二) (1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
解析　(1)由已知得解得
∵an>0，∴
∴an＝128×n－1＝n－8.
(2)由an＝a1qn－1，得＝×n－1，
即n－1＝3，解得n＝4.
答案　(1) an＝n－8　(2)4
二、等比中项
例2 (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是 (　　)
A．±4　 B．4 C．± D.
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
解析　(1)由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
(2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
答案 (1)A (2)见解析
归纳总结：
(1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
(对应训练一)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析　因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.
答案 B
(对应训练二)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，所以an＝4×n－1.
答案 4×n－1
(对应训练三)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　)
A．1或 B．1或－ C．1或 D．1或－
解析　由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
从而有或
因此的值为1或－.
答案 D
三、等比数列的判定与证明
例3 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
证明 [法一　定义法]∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，
∴＝＝＝2.
∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
[法二　等比中项法]
∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
归纳总结：证明数列是等比数列常用的方法
1.等比数列的判定或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明．
3．对形如an＋1＝can＋b(n∈N*，b，c≠0，且c≠1，b，c为常数)的递推公式，通常可以变形为an＋1＋＝c，从而构造一个等比数列，通过求该等比数列的通项公式可得an.证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略．
(对应训练一)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(其中Sn为数列{an}的前n项和). 试判断数列{an}是否为等比数列？
解析　∵an＋1＝2Sn＋1，∴an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝2an，
即an＋1＝3an(n≥2)，
又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，∴a2＝3a1，
∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
答案 是
(对应训练二)在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解析　(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝.
故数列{an}是公比为的等比数列．
又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，
即a·5＝3，
由于数列各项均为负数，则a1＝－，
∴an＝－×n－1＝－n－2.
(2)设an＝－，由等比数列的通项公式得
－＝－n－2，即4＝n－2.
由指数函数的性质，有4＝n－2，即n＝6.
因此－是这个等比数列中的第6项．
答案 (1) an＝－n－2 (2) 是这个等比数列中的第6项
(对应训练三)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
解析　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，所以a1＝－，
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
答案 (1) a1＝－，a2＝ (2) 首项为－，公比为－的等比数列
四、设元求解等比数列问题
例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
解析　(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即
整理得
解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
(2)解：法一：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.故所求的四个数为9,6,4,2.
法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
答案 (1) 45 (2) 9,6,4,2
归纳总结：几个数成等比数列的设法：
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，a，aq，aq2…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，aq，aq3，aq5…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
(对应训练一)在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)
A．－4或 B．4或 C．4 D．17
解析　设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
答案 B
(对应训练二)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．
解析　解法一：从前三个数入手，设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二：从后三个数入手：
设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
所以当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法三：从首末两项的和与中间两项的和入手：
设这四个数依次为x，y,12－y,16－x，
由已知得解得或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
答案 0,4,8,16或15,9,3,1
五、等比数列的实际应用
例5 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解析　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.
∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元．
答案 (1) an＝13.5×(0.9)n－1万元 (2) 8.857万元
归纳总结：数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
(对应训练一)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，求第n年初M的价值an.
解析 当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥7时，a6，a7，…，an是首项为a6＝70，公比为的等比数列，故an＝70×n－6.综上可得an＝
答案 an＝
(对应训练二)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年　　 B．2019年 C．2020年　　D．2021年
解析　由已知可得130×(1＋12%)n－1≥200，
即1.12n－1≥，
∴(n－1)lg1.12≥lg，
∴n－1≥＝3.8.
∴n≥5.故选C．
答案 C
六、等比数列在溶液配比问题中的应用
例6 从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去．问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
解析　设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－，
设操作n次后溶液的浓度为an，
则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an，从而建立了递推关系．所以{an}是以a1＝1－为首项，公比为q＝1－的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝n，即第n次操作后酒精的浓度是n，
当a＝2时，由an＝n<，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精浓度小于10%.
答案 4次
归纳总结：本题是一道有关浓度的应用问题，首先弄清一次操作的含义，其次是列出第n次操作后第n＋1次操作后溶液浓度间的递推关系，即an＋1＝an，然后利用数列的有关知识解决问题．
(对应训练)容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解析　设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，
则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；
…；
bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝(an－1－bn－1)
＝…＝(a0－b0)·n－1.∵a0－b0＝，
∴an－bn＝·n.
依题意，得·n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
答案 6次
七、等比数列与等差数列的综合应用
例7 若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比为q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对于一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立，若存在，则求a、b的值；若不存在，说明理由．
解析　(1)由解得
(2)由(1)知an＝3n－2，bn＝4n－1.
假设存在常数a，b，使an＝logabn＋b成立，n∈N*.则3n－2＝loga4n－1＋b＝loga4n＋b－loga4对n∈N*恒成立．
∴⇒ a＝2，b＝1
答案 (1) (2) a＝2，b＝1
归纳总结：求解等差、等比数列综合问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．
(2)发挥两个数列的基本量a1，d或a1，q的作用，并用好方程这一工具．
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．
(对应训练)若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于(　　)
A．7 B．6 C．5 D．4
解析　由a5是a2与a6的等比中项，可得a＝a2a6，
由等差数列{an}的公差d为2，
即(a1＋8)2＝(a1＋2)(a1＋10)，解得a1＝－11，
an＝a1＋(n－1)d＝－11＋2(n－1)＝2n－13，
由a1<0，a2<0，…，a6<0，a7>0，…
可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n＝6.故选B.
答案 B
专题训练
1．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为(　　)
A．0 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2
解析　设等比数列的公比为q，由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.故选C.
答案 C
2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n
解析　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5>a2，所以a2<0，a5>0，
从而a1>0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.故选A.
答案 A
3．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(　　)
A．32 B．34 C．66 D．64
解析　依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.
答案 C
4．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　　 B．4 C．±　　 D．
解析　由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为a6＝4.
答案 B
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
解析　依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
答案 C
6．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是(　　)
A．m>k B．m＝k C．m 解析　m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
答案 C
7．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则(　　)
A．a1＋a8>a4＋a5 B．a1＋a8 C．a1＋a8＝a4＋a5 D．a1＋a8与a4＋a5大小不定
解析　由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]
＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)
＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．
∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.
答案 A
8．在等比数列{an}中，a3a11＝4a7.若数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
解析　在等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4.在等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
答案 C
9．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　)
A．10 B．20 C．100 D．200
解析　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.故选C.
答案 C
10．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是(　　)
A. B． C．2 D．
解析　由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，(a，q>0)因为三角形两边之和大于第三边，所以有＋a>aq，即q2－q－1<0，解得0，故 答案 D
11．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　)
A．210　　 B．220 C．216　　 D．215
解析　设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
答案 B
12．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是(　　)
A．4　　 B．2　　 C．　　 D．
解析　由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
答案 D
13．设数列{an}为公比不为－1的等比数列，则下面四个数列：①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析　对于①，因为＝3＝q3(常数)，所以{a}是等比数列；对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；对于④，因为＝＝＝q(常数)．所以{an＋an＋1}是等比数列．
答案　D
14．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1，则an＝ .
解析 ∵Sn＝2an－1，① ∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，②
①－②得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
∵S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1，
∴数列{an}为首项是1，公比是2的等比数列，故an＝2n－1.
答案 2n－1
15．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是____.
解析　设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，
∴q2＝.较小锐角记为θ，则sinθ＝＝.
答案
16．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是____.
解析　∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.
答案 －
17．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝____.
解析　设等比数列的公比为q(q>0)，由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝.
a3＝a1q2＝＝(q>0)，而－＋＝－(－)2＋，①
当q＝2时①式有最大值，所以当q＝2时a3有最小值4.
此时a1＝＝＝1.
所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.故答案为2n－1.
答案 2n－1
18．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝ .
解析 由题意知q5＝＝8，则am＋15＝amq15＝3×83＝1 536.
答案 1 536
19．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝ .
解析 由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a，
解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数，故an＝0舍去)．
又因为bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，
所以bn＝2(n≥2)，
所以log2(a2＋b2)＝log24＝2.
答案 2
20．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米．
解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048.
答案 2 048
21．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝____.
解析　∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2.
∵T2m－1＝a1a2…a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4.
答案 4
22．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为____.
解析　∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×()n－1＝()n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝()3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
答案 4
23．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明 ∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，∴＝.∴{an}是等比数列．
答案 见解析
24．已知：a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
解析 由题意知b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝.
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.
答案 a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7
25．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析 (1)∵a1＝－1，an＝3an－1－2n＋3，
∴a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
∵＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，
∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，
∴an＝n－2×3n－1.
答案 (1)见解析 (2) an＝n－2×3n－1
26．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解析　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
答案 (1) b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列 (3) an＝n·2n－1
27．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析　(1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.
答案 (1) {bn}是首项为3，公比为2的等比数列 (2) an＝(3n－1)·2n－2
28．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，说明理由．
解析　(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设{an＋λ}是等比数列，
则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，
即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
∴{an＋3}的首项为a1＋3＝6，公比为＝2.
∴an＋3＝6×2n－1，∴an＝6×2n－1－3.
答案 见解析