人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解（完整知识点）

这是一份人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解（完整知识点），共48页。主要包含了幂的运算，整式的乘法，整式的除法，因式分解等内容，欢迎下载使用。

（一）同底数幂的乘法
1、推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2、性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示： am⋅an=am+n（m、n都是正整数）；
同理： am⋅an⋅ap=am+n+p（m、n、p都为正整数）
3、同底数幂的乘法的性质可以逆用，即am+n=am⋅an（m，n都是正整数）。
4、在幂的运算中，经常用到以下变形：
（二）幂的乘方
1、推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2、性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示： (am)n=amn（m、n都是正整数）；
同理：[(am)n]p=amnp（m、n、p都为正整数）
3、幂的乘方的性质可以逆用，即amn=(am)n（m，n都是正整数）。
（三）积的乘法
1、积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、推导：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
3、性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示： (ab)n=anbn（n为正整数）；
同理：(abc)n=anbncn（n为正整数）
4、积的乘方的性质可以逆用，即anbn=(ab)n（n为正整数）。
（四）同底数幂的除法
1、推导：计算am÷an (a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n)，
因为am−n⋅an=am（幂的乘方的逆运算），所以am÷an=am−n。
2、性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
符号表示：am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）
同理：am÷an÷ap=am−n−p （a≠0， m，n，p都是正整数， 并且m>n+p）
3、同底数幂的除法的性质可以逆用，即am−n=am÷an，（a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）。
（五）零指数幂
1、推导：当公式am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）中的m=n时，计算am÷am= am−m=a0，因为am÷am=1，所以a0=1（a≠0）。
性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2a2⋅3ab=(2×3)(a2⋅a)⋅b=6a3b（结果仍为单项式）
（二）单项式与多项式相乘
单项式乘多项式法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示：p（a+b+c）=pa＋pb+pc（p，a，b，c都是单项式）。
注意，1、多项式中的每一项都包括它前面的符号。
2、单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（三）多项式与多项式相乘
多项式乘法法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别是单项式）
注意：1、多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。
2、多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项，一定要及时合并同类项。
3、(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq，其中p、q是常数。此公式的特点是（1）两个因式含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项系数都是1；（2）乘积是二次三项式，二次项系数是1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项等于两个因式中常数项的积。
（四）乘法公式
1、平方差公式
（1）平方差公式的证明
（2）语言叙述∶两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(a+b)(a−b)=a2−b2
（3）平方差公式的特点
①等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。
2、完全平方公式
（1）完全平方公式的证明
（2）语言叙述∶两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
（3）完全平方公式的特点
①两个公式的等号左边都是一个二次项的完全平方，两者仅有一个“符号”不同。
②两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。
3、添括号法则
（1）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号。
（2）如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
字母表示：①a+b+c=a+(b+c)
②a−b−c=a−(b+c)
三、整式的除法
（一）单项式除以单项式
单项式除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
4a2b÷(2a)=(4÷2)(a2÷a)⋅b=2ab
（二）多项式除以单项式
多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用式子表示：（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m（a，b，m分别是单项式且m≠0）
（三）多项式除以多项式（不做研究）。
四、因式分解
（一）概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。.
因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，并且必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（二）因式分解与整式乘法：因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形。
（三）因式分解的方法
1、用提公因式法分解因式
（1）公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）公因式的确定（为保证一个多项式各项不含有公因式，提取公因式要提取各项的最大公因式）。
①确定公因式的系数
a、当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；
b、当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。
②确定相同字母∶公因式应取多项式各项中相同的字母（可以是单项式，也可以是多项式）。
③确定公因式中相同字母的指数∶取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数。
④、确定公因式∶由步骤（1）～（3）写出多项式的公因式。
（3）提取公因式法
①概念：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
②提取公因式的依据是乘法分配律的逆用。
2、公式法
概念：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)
（2）完全平方公式
（3）pq公式（十字相乘法）：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
如图，两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2−b2。
S3=a(a﹣b)
S2=b(a﹣b)
a2−b2=S3+S2=a(a﹣b)+b(a﹣b)=(a+b)(a−b)
边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b) 2，它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，即(a+b)2=a2+2ab+b2。
边长为(a-b) 的正方形的面积是(a−b) 2，它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
，即(a−b)2=a2−b2−2(a−b）b=a2−2ab+b2。
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2