2021学年15.2.2 分式的加减精品达标测试

15.2.2分式的加减

一、单选题

1．2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．

【详解】2019年的增长率是：，

2020年的增长率是：，

则2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了：．

故选：D．

【点评】本题主要考查了列代数式以及分式的减法，正确表示出增长率是解题关键．

2．已知，则的值是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【详解】∵，

∴，

∴原式＝﹣2，

故选：B．

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

3．已知为实数且满足，设，则下列两个结论（    ）

①时，时，；时，；②若，则．

A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错

【答案】C

【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；

②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．

【详解】，，

，

，

，

，

①当时，，

，

当时，，

，

当时，，或，

或，

或；

当时，和可能同号，也可能异号，

或，而，

或；

①错；

②

，

原式

，，

，

，

，．

②对．

故选：．

【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．

4．已知，则代数式的值（    ）

A．4 B．9 C．－4 D．－8

【答案】A

【分析】由＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.

【详解】由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，

则===4．

故选：A．

【点评】本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．

5．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据新定义，把转化为分式的运算即可．

【详解】根据定义运算*，，

，

去分母得，，

代入得，

，

故选：A．

【点评】本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y之间的关系，再整体代入．

6．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值．

【详解】∵

∴．

∵x，y是整数，

∴是整数，

∴x＋1可以取±1，±2．

当x＋1＝1，即x＝0时＞0；

当x＋1＝−1时，即x＝−2时，（舍去）；

当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0；

当x＋1＝−2时，即x＝−3时，＞0；

综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1．

故选：C．

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键．

7．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（    ）

A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式

【答案】A

【分析】根据题意得出xy＝1，可以用表示y，代入+，计算结果为2即可．

【详解】由题意得：xy＝1，则y＝，

把 y＝，代入+，得：

原式＝+＝+＝2

∴与互为“2阶分式”，

故选A．

【点评】本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．

8．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可．

【详解】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，

∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，

∴

=

=

=

=2

故选：C

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

二、填空题

9．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．

【答案】0

【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．

【详解】

＝

＝

＝，

∵＝，且A、B为常数，

∴，

∴，

解得：，

∴A+3B＝3+3×(-1)=0，

故答案为：0．

【点评】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．

10．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为_____．

【答案】

【分析】先将原分式进行通分变形，约分化简，然后求得符合题意的解即可．

【详解】

，

∵，为整数

∴，或或或

∴或或或

∴

∴所有符合条件的值的和为：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于熟练掌握分式相关知识点．

11．下列语句及写成式子不正确的是______．

①；

②分式、、都是最简分式；

③；

④当时，则代数式．

【答案】①②③

【分析】根据最简分式的定义、分式的加法和分式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【详解】，故①错误；

，故②错误；

，故③错误；

当时，则代数式

，故④正确．

故答案为：①②③．

【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，从而进行约分．

12．已知：，其中a，b，c，d是常数，则a+2b+3c+4d的值为_____．

【答案】0

【分析】由＝＝，根据对应相等，求出a，b，c，d的值，代入计算即可．

【详解】∵，

＝，

＝，

∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，

∴a+2b+3c+4d＝1+2×（﹣3）+3×3+4×（﹣1），

＝0，

故答案为0．

【点评】本题考查了分式的加减法，解决此题的关键是找出规律．

三、解答题

13．观察下列各式及证明过程：

①；②；③．

验证：；

．

（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．

【答案】（1）；（答案不唯一），证明见解析；（2），证明见解析

【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；

（2）利用规律写出不等式并验证即可．

【详解】（1）答案不唯一，如：；

证明：；

（2）

证明：

【点评】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．

14．先化简，再从的范围内选取一个合适的整数a代入求值

【答案】 ，

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．

【详解】

，

∵，为整数，且，，，

∴取，原式．

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．注意本题的值只能为-1．

15．观察下列式子，并探索它们的规律：

（1）根据以上式子填空：

①      ．

②       ．

（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？

【答案】（1）①；② ；（2）1或3

【分析】（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；

（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x取什么值时，的值为整数．即可得到答案．

【详解】（1）①．

故答案为．

②

故答案为．

（2）

当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，

即或时，的值为整数．

∴，．

即当x为1或3时，的值为整数．

【点评】本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．

16．先化简，再求值（1﹣）÷，其中m2＝1．

【答案】，当时，原式=．

【分析】先计算括号内的，再将除法化为乘法后，给各部分因式分解后约分，再求得，根据分母不能为0，将代入计算即可．

【详解】原式＝

=

=，

∵m2＝1，

∴，

又∵分式的分母不为0，即，

∴当时，原式=．

【点评】本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0．

17．先化简（﹣）÷，然后从﹣2＜x＜3中选择一个合适的值代入求值．

【答案】，当x=2时，原式=2．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取一个合适的数作为x的值代入进行计算即可．

【详解】原式=，

∵x≠0，x≠1，x≠-1，且﹣2＜x＜3，

∴x取x=2，

∴当x=2时，．

【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．

18．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．

【答案】
 

【分析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解一元一次不等式组，求出整数解，最后代值计算．

【详解】原式

．

不等式组：

解不等式组得：-1≤a≤2，

∴a的整数解是-1，0，1，2．

又∵a≠1且a≠0，a≠-1，a为整数，

∴a可取值为2．

当a=2时，原式=

故答案为．

【点评】考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．

19．先化简，再求值：，再从－2，2，3中选一个恰当的数作为x的值，代入求值．

【答案】，

【分析】分式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，然后代入求值．

【详解】

=÷

=·

=

=

由题意可得：x≠0且x≠±2

∴当x=3时，原式=

【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．

20．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：

（1）分式是　   　（填“真分式”或“假分式”）；

（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；

（3）当x取什么整数时的值为整数．

【答案】（1）真分式；（2）x+2﹣；（3）x＝3

【分析】（1）根据真分式的定义求解即可；

（2）原式变形为＝，再进一步化简即可；

（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则变形得出原式＝，再进一步变形为＝﹣2+，结合分式有意义的条件可得答案．

【详解】（1）分式是真分式，

故答案为：真分式；

（2）

＝

＝

＝x+2-；

（3）

＝

＝

＝

＝

＝

＝﹣2+，

∵x≠±1且x≠0，x≠2，

∴当x＝3时，原式＝﹣2+1＝﹣1．

【点评】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键．