高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习

直线和圆巩固练习汇总

1. 已知点是圆上的点，则的最大值是(    )

A. 6 B. 5 C.  D.

2. 已知为圆上任意一点，则的最大值为　　

A. 2 B.  C.  D. 0

3. 已知点P是直线上的动点，点Q为圆上的动点，则的最小值为____________．
4. 若点在曲线上，求的取值范围，的取值范围

5. 直线被圆所截得弦长为，则实数m的值是  

A. 或 B. 1或 C. 或6 D. 0或4

6. 过点且与O：相切的直线方程为______．

7. 已知圆M过点，且圆心M在直线上。

求圆M的方程；点为圆M上任意一点，求的最值。

8. 圆与圆的公共弦长为____________．

9. 在空间直角坐标系中，点4，，则A关于平面yOz的对称点坐标为

10. 在空间直角坐标系中，已知点0，，，若点M在y轴上，且，则M的坐标是______．

11. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点2，，0，，则______________．

12. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为______．

13. 在圆上总有四个点到直线的距离是1，则实数m的取值范围是____________．

14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．
15. 在中，，，则______．
16. 直线l的斜率在上取值时，倾斜角的范围是______ ．

17. 已知曲线C：，其中，C过定点______ ．

18. 已知直线m：，点M在直线m上，过点M引圆的切线，若切线长的最小值为，则实数a的值为____________．

19. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是 　　

A.  B.  C.  D.

20. 设直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则实数a的值为　　

A.  B.  C.  D.

21. 已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于______．

22. 若过点的直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为______．

23. 已知函数

求的值；  当时，求函数的取值范围．
 

24. 如图，已知定圆C：，定直线m：，过的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
    Ⅰ当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
    Ⅱ当时，求直线l的方程；
    Ⅲ设，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

25. 一个圆的圆心C在直线上，且与直线相切，直线截圆C所得的弦长为6．求圆C的方程；

过点作圆的切线，求切线的方程．






 

26. 已知实数x，y满足方程求：

的最大值和最小值；

的最大值和最小值；

的最大值和最小值，

 

【答案】

若点在曲线上，则的取值范围为(    )

A.   B.
C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题主要考查了圆的最值问题，先把，转化成圆的标准方程形式，则的几何意义是右半圆上的点与点的直线的斜率的取值范围．
【解答】
解：由得，
表示以为圆心，半径为1的圆的右半部分，
的几何意义是右半圆上的点与点的直线的斜率，
可以得到．
 

2. 已知点是圆上的点，则的最大值是(    )

A. 6 B. 5 C.  D.

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查圆有关的最值问题，属于中档题．
把x与y满足的等式配方后，观察得到为一个圆的方程，设出圆的参数方程，得到，，代入所求的式子中，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得到的最小值．
【解答】
解：因为点是圆上的点，
设，，
则，
由，
所以的最大值是 ．
故选D．
 

3. 已知为圆上任意一点，则的最大值为　　

A. 2 B.  C.  D. 0

【答案】B

【解析】略
 

二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

4. 已知点P是直线上的动点，点Q为圆上的动点，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．
求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．
【解答】
解：圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离．
再由，得的最小值为．
故答案为．
 

5. 直线被圆所截得弦长为，则实数m的值是  

A. 或 B. 1或 C. 或6 D. 0或4

【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查直与圆的位置关系及其弦长问题，是常考题型，属中档题由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解 

【解答】

解：圆．
圆心为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
，

解得或．
故选D．

6. 过点且与O：相切的直线方程为______．

【答案】和

【解析】解：由题意可得点在圆外面，
当切线的斜率不存在时，此时的直线方程为满足条件；
当直线的斜率存在时设为k，则切线方程为，
根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离为
，，
直线方程为，即；
所以满足条件的切线方程为：和．
故答案为：和．
讨论切线的斜率不存在和斜率存在时，利用直线与圆相切时，
圆心到直线的距离求得切线斜率与方程．
本题主要考查了求过圆外一点作圆的切线方程的应用问题，解题时应考虑斜率是否存在，是基础题．
 

7. 圆与圆的公共弦长为____________．

【答案】​

【解析】【分析】
利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．
【解答】解：，；；
得：为公共弦所在直线的方程，
原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：，
故答案为．
 

8. 已知圆M过点，且圆心M在直线上。求圆M的方程；
   点为圆M上任意一点，求的最值。

【答案】解：由，得CD中点为，，
所以CD的垂直平分线为，联立，得    ，
则，圆M的半径为，
所以圆M的方程为．
可以看成是点与连线的斜率k，
直线AP的方程为，
即，当直线AP为圆的切线时，有，
解得，所以的最大值为，最小值为 0．

【解析】分析：本题考查与圆相关的知识．
圆的标准方程的求解．
与圆有关得最值问题．
 

9. 在空间直角坐标系中，点4，，则A关于平面yOz的对称点坐标为 

A. 4， B.  C.  D. 4，

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查空间直角坐标系，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．
【解答】
解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，
可得点4，，关于坐标平面yOz的对称点的坐标为：4，．
故选D．
 

10. 在空间直角坐标系中，已知点0，，，若点M在y轴上，且，则M的坐标是______．

【答案】

【解析】解：设设y，，由，
可得，
即，解得：．
M的坐标是．
故答案为：．
设出点y，，由，建立关于参数y的方程，求y值即可．
本题考点是点、线、面间的距离计算，空间两点距离公式的应用，考查计算能力．
 

11. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点2，，0，，则______________．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查空间两点间的距离公式，由公式即可求解，属于基础题．
【解答】
解： 因为在空间直角坐标系Oxyz中，0，，2，，
所以线段PQ的长度．
故答案为．
 

12. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为______．

【答案】

【解析】解：由题意设圆的方程为，
由点在圆上，且圆心到直线的距离为，
得，解得，．
圆C的方程为：．
故答案为：．
由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．
本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
 

13. 在圆上总有四个点到直线的距离是1，则实数m的取值范围是____________．

【答案】

【解析】【分析】
本题主要考查圆的一般方程和标准方程，直线与圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，求解时把圆的方程化为标准方程，由已知可得圆心到直线的距离小于2，即可求出实数m 的取值范围，属于中档题．
【解答】
解：圆可化为，圆心，半径为3，
因为圆上总有四个点到直线的距离是1 ，
所以，解得．
故答案为．
 

14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．
【解答】
解：由，，可得
，
，
，
由正弦定理可得
．
故答案为．
 

15. 在中，，，则______．

【答案】1

【解析】【分析】
本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可【解答】
解：在中，，，
由正弦定理可得：，
，，，则．
三角形是等腰三角形，，则，
则．
故答案为：1．
 

16. 直线l的斜率在上取值时，倾斜角的范围是______ ．

【答案】

【解析】解：设直线的倾斜角为，则，
由，
即，
当时，；
当时，，
，
故答案为：．
由直线的斜率范围，得到倾斜角的正切值的范围，利用正切函数的单调性并结合倾斜角的范围，最后确定倾斜角的具体范围．
本题考查倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在、上都是单调增函数．
 

17. 已知曲线C：，其中，C过定点______ ．

【答案】

【解析】解：将整理为：
，
且，
解得：，，
曲线C过定点．
故答案为：．
把曲线方程整理为，把k看作未知数，x与y看作常数，根据多项式的值为0，各项的系数都为0列出关于x与y的方程组，求出方程组的解集得到x与y的值，进而确定出曲线方程恒过的定点坐标．
此题考查了直线与圆的位置关系，圆系方程的应用，基本知识的考查．
 

18. 已知直线m：，点M在直线m上，过点M引圆的切线，若切线长的最小值为，则实数a的值为____________．

【答案】

【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线以及与圆有关的最值问题，解题关键是利用切线长、半径、点M与圆心连线组成的直角三角形，将问题转化为点M到圆心的距离的最小值为3，问题即可求解，属于中档题．
【解答】
解：由题意得直线m：上的点M到圆的圆心的距离的最小值为3，
即圆的圆心到直线m：的距离为3，
得，解得．
故答案为．
 

19. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是 　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】【分析】
要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，由于曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点；当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线l过，，
又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离，即，
解得：；
当直线l过B点时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为
故选A．
 

20. 设直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则实数a的值为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中由为等边三角形，得圆心到直线的距离是解本题的关键由圆的标准方程找出圆心坐标与半径r，利用为等边三角形，点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】
解：由圆的方程得到圆心坐标为，半径，由为等边三角形，得圆心到直线的距离，
解得：．
故选B．
 

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

21. 已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于______．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题可设的三边分别为，，，运用余弦定理可得，由同角的平方关系可得，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．
【解答】
解：可设的三边分别为，，，
由余弦定理可得，，
可得，
可得该三角形的外接圆半径为．
故答案为．
 

22. 若过点的直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为______．

【答案】4

【解析】解：圆的圆心为，半径，
点与圆心间的距离，
的最小值．
故答案为：4．
求出圆的圆心和半径r，再求出点与圆心间的距离d，的最小值．
本题考查圆的弦长的最小值的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的方程、直线方程的性质的合理运用．
 

三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）

23. 已知函数．

求的值；

当时，求函数的取值范围．

【答案】解：

​，

则．

由得，

当时，，

则，

即的取值范围为．

【解析】将化为“一角一函”形式，然后求的值；

由得，当时，，则，即可求出结果．

24. 如图，已知定圆C：，定直线m：，过的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
    Ⅰ当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
    Ⅱ当时，求直线l的方程；
    Ⅲ设，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

【答案】解：Ⅰ由已知，故，
所以直线l的方程为．
将圆心代入方程易知l过圆心分
Ⅱ当直线l与x轴垂直时，易知符合题意；分
当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为，由于，
所以由，解得．
故直线l的方程为或分
Ⅲ当l与x轴垂直时，易得，，
又则，，故即分
当l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入圆的方程得．
则，，
即，．
又由得，
则．
故．
综上，t的值为定值，且分
另解一：连接CA，延长交m于点R，由Ⅰ知又于M，
故∽于是有．
由，得．
故分
另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由Ⅰ知，又，
所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，
由相交弦定理得分

【解析】Ⅰ根据已知，容易写出直线l的方程为将圆心代入方程易知l过圆心C．
Ⅱ过的一条动直线应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离从而解得斜率K来得出直线l的方程为．
Ⅲ同样，当l与x轴垂直时，要对设，进行验证当l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程充分利用“两根之和”和“两根之积”去找再用两根直线方程联立，去找从而确定的代数表达式，再讨论t是否为定值．
用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况一般是验证特殊，求解一般．
解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．
涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解这种方法通常叫做“设而不求”．
 

25. 一个圆的圆心C在直线上，且与直线相切，直线截圆C所得的弦长为6．求圆C的方程；

过点作圆的切线，求切线的方程．

【答案】解：设圆心，半径为 
则圆C的圆心在直线l1：上， 
， 
圆C与直线相切， 
， 
圆C截得直线所得弦长为6， 
 
所以由得：， 
即， 
因为， 
所以 
，

由，解之得， 
故所求圆C的方程为

由知点圆外，

当直线的斜率不存在时，直线方程为，

由于圆心到直线的距离为，

所以符合题意，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

所以，

解得，

则切线方程为，

综上，所求切线方程为或．

【解析】考查直线与圆的位置关系及圆的标准方程，同时圆的切线方程的求解及圆的弦长．

 由题意设圆心为，半径为r，利用圆与直线相切，在上截得弦长为6，列出方程，即可求出a，b，从而可得到圆的方程

讨论直线的斜率是否存在，然后利用圆心到直线的距离等于半径即可求解 

26. 已知实数x，y满足方程求：

的最大值和最小值；

的最大值和最小值；

的最大值和最小值，

【答案】解：如图，令，

则，

即．

由得．

所以的最小值为，最大值为．

令，，直线与圆有公共点时，

其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，

而相切时有，，．

所以的最大值为，最小值为．
是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大，此时有，，
则，．

【解析】本题主要考查了圆的方程的综合运用考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．
整理方程可知，方程表示以点为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
设，直线与圆有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，进而利用点到直线的距离求得的最值；
是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和，答案可得．