高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步练习题
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直线和圆中的最值问题
- 直线l：上的点到圆C：上的点的最近距离为
- 若x、y满足，则的最小值是
A. B. C. D. 无法确定
- 从点向圆作切线，当切线长最短时m的值为
A. B. 0 C. 2 D. 1
- 一束光线从点出发，经x轴反射到圆C：上的最短路径长度是
A. 4 B. 5 C. 3 D. 2
- 已知实数x，y满足，则的最小值是
A. B. C. 2 D. 8
- 若直线与圆相交于两点，且，则k的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知为圆上任意一点，则的最大值为( )
A. 2 B. C. D. 0
- 从点向圆作切线，当切线长最短时m的值为
A. B. 0 C. 2 D. 1
- 已知两点，，若点P是圆上的动点，则面积的最小值是 （ ）
A. 6 B. C. 8 D.
- 若直线与曲线有公共点，则m所的取值范围是
A. B.
C. D.
- 圆上到直线的距离等于的点有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）
- 点关于直线的对称点的坐标是______ ．
- 以点和为端点的线段的中垂线的方程是______ ．
- 过点且与点距离最大的直线l的方程是__________．
- 曲线在点处的切线的倾斜角为______ ．
- 已知、，直线l的斜率是直线AB斜率的倍，则直线l的倾斜角为______．
- 如果，，那么直线不通过第______ 象限．
- 直线l的斜率在上取值时，倾斜角的范围是______ ．
- 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是______ ．
- 若直线l：与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值________．
- 点P在圆上，点Q在圆上，则的最小值是_________________．
- 已知直线l：，圆C：，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
- 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点．
Ⅰ求点关于直线l对称点的坐标及点到直线l的距离；
Ⅱ求反射光线所在直线的一般式方程．
- 已知圆C：和直线l：，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，
求与圆C相切且平行直线l的直线方程；
求面积的最大值．
- 已知圆M过两点，，且圆心M在直线上
求圆M的方程；
设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
- 已知直线和圆O：，
为何值时，没有公共点；
为何值时，截得的弦长为2；
若直线和圆交于A、B两点，此时，求m的值．
【答案】
直线和圆中的最值问题
- 直线l：上的点到圆C：上的点的最近距离为
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，是基础题。
化标准方程求圆心与半径，由圆心到直线的距离易得结果。
【解答】
由题设知圆心为，半径，
而圆心到直线距离为：
，
因此，圆上点到直线的最短距离为，
故选D．
- 若x、y满足，则的最小值是
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】【分析】
此题考查学生会把圆的一般方程化为圆的标准方程并会由圆的标准方程找出圆心坐标与半径，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为的最小值．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：
，则圆心A坐标为，圆的半径，
设圆上一点的坐标为，原点O坐标为，
则，，
所以．
则的最小值为．
故选C．
- 从点向圆作切线，当切线长最短时m的值为
A. B. 0 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及切线方程，同时考查圆的标准方程与二次函数，由圆的切线性质，将切线长表示为m的函数即可求解，属于中档题．
【解答】
解： 因为圆的标准方程为，
所以圆心，半径，
设切点为A，
则，
所以当时，最小．
故选C．
- 一束光线从点出发，经x轴反射到圆C：上的最短路径长度是
A. 4 B. 5 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查点关于直线的对称点和点与圆的位置关系，属于基础题．
先求出这个点关于x轴的对称点，然后求出到圆的最短距离．
【解答】
解：由题意可得圆心，半径为，
点A关于x轴的对称点，
求得，
则要求的最短路径的长为，
故选A．
- 已知实数x，y满足，则的最小值是
A. B. C. 2 D. 8
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识点是圆的一般方程，点到圆上动点距离的最值，两点之间的距离公式，属于基础题．
表示圆上动点到点点的距离的平方，进而得到答案．
【解答】
解：表示一个以点为圆心，以为半径的圆，
表示圆上动点到点点的距离的平方，
故的最小值是，
故选：C．
- 若直线与圆相交于两点，且，则k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
由弦长公式可得弦心距，再由点到直线的距离公式可得，由此解得k的值．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．
【解答】
解：直线与圆相交于M，N两点，，
由弦长公式可得弦心距
再由点到直线的距离公式可得，
故选B．
- 已知为圆上任意一点，则的最大值为( )
A. 2 B. C. D. 0
【答案】B
【解析】略
- 从点向圆作切线，当切线长最短时m的值为
A. B. 0 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及切线方程，同时考查圆的标准方程与二次函数，由圆的切线性质，将切线长表示为m的函数即可求解．
【解答】
解： 因为圆的标准方程为，
所以圆心，半径，
设切点为A，
则，
所以当时，最小．
故选C．
- 已知两点，，若点P是圆上的动点，则面积的最小值是
A. 6 B. C. 8 D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的最值问题及直线与圆的位置关系，则时考查直线的截距式方程及点到直线的距离，求出圆心到直线的距离，然后减去半径即为高的最小值，从而求得结果．
【解答】
解：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，
这时的面积最小．
直线AB的方程为，
即，
圆心C到直线AB的距离为，
的面积的最小值为．
故选B．
- 已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题，若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．
【解答】
解：由圆C的方程：，可得圆C的圆心为原点，半径为2，
若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：的距离d小于1，
直线l的一般方程为：，
，
解得，
所以b的取值范围为
故选D．
- 若直线与曲线有公共点，则m所的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：曲线 即，即，，
表示以为圆心，半径等于1的半圆圆位于直线的部分，包括直线上的点，如图所示：
当直线线过点时，有，解得．
当直线与半圆相切时，根据圆心到直线的距离等于半径可得，
解得，或 舍去．
故所求的m的范围为，
故选B．
化简所给的曲线方程，可得，它表示以为圆心，半径等于1的半圆当直线线过点时，求得m的值；当直线与半圆相切时，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值，数形结合可得m的范围．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
- 圆上到直线的距离等于的点有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离公式，考查了圆的一般式方程，训练了数形结合的解题思想方法，是基础题．
化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，结合图形答案可求．
【解答】
解：由，得
．
圆的圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离为．
如图，
圆上满足到直线的距离为的点只有1个，
是过圆心且与直线垂直的直线与圆的交点A．
故选A．
二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）
- 点关于直线的对称点的坐标是______ ．
【答案】
【解析】【分析】
设所求对称点的坐标为，由对称关系可得a和b的方程组，解方程组可得．
【解答】
解：设所求对称点的坐标为，
则由对称关系可得，
解方程组可得，即对称点为
故答案为：．
本题考查中点坐标公式，涉及直线的对称和垂直，属基础题．
- 以点和为端点的线段的中垂线的方程是______ ．
【答案】
【解析】解：直线AB的斜率，所以线段AB的中垂线得斜率，又线段AB的中点为，
所以线段AB的中垂线得方程为即，
故答案为．
先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．
本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质中垂线上的点到线段的2个端点距离相等来求中垂线的方程．
- 过点且与点距离最大的直线l的方程是__________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考察直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程数形结合得到所求直线与PA垂直，再用点斜式方程求解．
【解析】
解：设，根据题意得，当直线l与直线PA垂直时距离最大，
因直线PA的斜率为，
所以所求直线斜率为1，
所以由点斜式方程得：，
化简得
故答案为．
- 曲线在点处的切线的倾斜角为______ ．
【答案】
【解析】【分析】
先求曲线在点处的导数，根据导数的几何意义是曲线的切线的斜率，就可得到切线的斜率再根据斜率是倾斜角的正切值，可求出倾斜角．
本题主要考查了应用导数的几何意义求切线的斜率，以及直线的斜率与倾斜角之间的关系．
【解答】
解：点满足曲线的方程，
点为切点．
，
当时，，
曲线在点处的切线的斜率为1，倾斜角为，
故答案为．
- 已知、，直线l的斜率是直线AB斜率的倍，则直线l的倾斜角为______．
【答案】
【解析】解：根据题意，设直线l的倾斜角为，则直线l的斜率，
又由、，则，
又由直线l的斜率是直线AB斜率的倍，
则，
则，
故答案为：．
根据题意，设直线l的倾斜角为，则直线l的斜率，有A、B的坐标计算可得，分析可得，分析可得答案．
本题考查直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系，涉及二倍角的正切公式，属于基础题．
- 如果，，那么直线不通过第______ 象限．
【答案】二
【解析】解：由题意直线可化为．
，，若，则，，，，直线经过第一、四、三象限．
若，则，，，，直线经过第一、四、三象限．
综上可得：直线经过第一、四、三象限，不通过第二象限．
故答案为：二．
由题意直线可化为由于，，分类讨论：若，则，，可得，；若，则，，可得，，即可得出直线经过的象限，进而判断出．
本题考查了直线的斜率与截距的意义、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
- 直线l的斜率在上取值时，倾斜角的范围是______ ．
【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，则，
由，
即，
当时，；
当时，，
，
故答案为：．
由直线的斜率范围，得到倾斜角的正切值的范围，利用正切函数的单调性并结合倾斜角的范围，最后确定倾斜角的具体范围．
本题考查倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在、上都是单调增函数．
- 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是______ ．
【答案】
【解析】解：圆的方程为，
圆心坐标为，半径．
是该圆内一点，
经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
，
由垂径定理，得．
因此，四边形ABCD的面积是．
故答案为
根据题意，AC为经过点P的圆的直径，而BD是与AC垂直的弦因此算出PM的长，利用垂直于弦的直径的性质算出BD长，根据四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．
本题给出圆内一点P，求经过点P最长的弦与最短的弦构成的四边形的面积着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和垂直于弦的直径的性质等知识，属于中档题．
- 若直线l：与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及利用基本不等式求最值，将的面积用圆心到直线的距离表示，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】
解： 曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，图象如图所示．
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率，
则点O到l的距离，
又，
当且仅当，即时，取得最大值．
所以，
解得舍去．
故答案为．
- 点P在圆上，点Q在圆上，则的最小值是_________________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的一般方程与标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得的最小值是两圆的圆心距减去半径的和．
【解答】
解：圆化为标准方程为，
圆心为，半径为3；
圆化为标准方程为，圆心为，半径为2，
两圆的圆心距为
两圆外离
的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即，
故答案为．
- 已知直线l：，圆C：，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数______ ．
【答案】
【解析】【分析】
利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断直线l过定点且在圆内，
可得当时直线l被圆截得的弦长最短，即可得出结论．
【解答】
解：由得，圆心坐标是，半径是，
直线过定点且在圆内，所以当时直线l被圆
截得的弦长最短，．
故答案为．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
- 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点．
Ⅰ求点关于直线l对称点的坐标及点到直线l的距离；
Ⅱ求反射光线所在直线的一般式方程．
【答案】解：Ⅰ设点关于直线l的对称点为，则 ，解得，即点关于直线l的对称点为，
．
Ⅱ由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，
即．
【解析】本题主要考查反射定律、求一个点关于直线的对称点的坐标、求直线的方程问题，属于基础题．
Ⅰ设点关于直线l的对称点为，根据题意列方程组，求出点关于直线l的对称点为，然后利用点到直线的距离公式求出A点到直线l的距离；
Ⅱ由于反射光线所在直线经过点和，由此可以直接求出直线方程．
- 已知圆C：和直线l：，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，
求与圆C相切且平行直线l的直线方程；
求面积的最大值．
【答案】解：设所求直线方程为，
由题意得：圆心到直线的距离，即，
解得：，
则所求直线方程为；
当直线与AB平行，且与圆相切时，面积的最大值，
此时直线方程为，
点C到直线AB的距离，，
，
，，即，，
，
则面积最大值为．
【解析】此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
根据题意设所求方程为，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离求出a的值，即可确定出所求直线方程；
当直线与AB平行，且与圆相切时，面积的最大值，如图所示，求出与的长，即可确定出面积的最大值．
- 已知圆M过两点，，且圆心M在直线上
求圆M的方程；
设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【答案】解：设圆M的方程为，根据题意得：解得，，
故所求圆M的方程为；
由题意知，四边形PAMB的面积为，
又，，所以，而，
即因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，
即在直线上找一点P，使得PM的值最小，
所以，
所以四边形PAMB面积的最小值为．
【解析】本题主要考查圆与方程．
根据弦线的中垂线过圆心来求圆心坐标，进而由圆心与圆上点的距离求半径，从而得到圆方程．
将四边形PAMB 面积最小值问题转化为圆心到直线上点的距离最小值问题来求解．
- 已知直线和圆O：，
为何值时，没有公共点；
为何值时，截得的弦长为2；
若直线和圆交于A、B两点，此时，求m的值．
【答案】解：由已知，圆心为，半径，圆心到直线的距离，
直线与圆无公共点，，即，
或．
故当或时，直线与圆无公共点．
由平面几何垂径定理知，即．
得，
当时，直线被圆截得的弦长为2．
由于交点处两条半径互相垂直，
弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
，即，
解得．
故当时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
求出圆心到直线的距离，利用直线与圆无公共点，可得，即可得出结论；
由平面几何垂径定理知，即可得出结论；
由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．
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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置复习练习题： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置复习练习题，文件包含三角函数及解三角形大题专题练习卷参考答案doc、三角函数及解三角形专题卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
（人教A版2019选择性必修第一册）专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题： 这是一份（人教A版2019选择性必修第一册）专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题，文件包含专题07与圆有关的轨迹问题与最值问题解析版docx、专题07与圆有关的轨迹问题与最值问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
