数学八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用复习练习题

2021年新初二数学北师大新版新课预习《1.3勾股定理的应用》

一．选择题（共5小题）

1．（2021春•天河区校级期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）

A．17m B．18m C．25m D．26m

2．（2021春•坡头区期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　）m．

A．3 B．4 C．5 D．8

3．（2021春•九龙坡区校级月考）如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　）米．

A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米

4．（2020秋•卫辉市期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）

A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4

5．（2021春•同安区校级月考）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（　　）

A．10海里 B．20海里 C．30海里 D．40海里

二．填空题（共5小题）

6．（2021春•海淀区校级期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为　   　cm2．

7．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　       　方向航行．

8．（2021春•海淀区校级期中）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部　 　m处．

9．（2020秋•高新区校级月考）有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是　                　cm．

10．（2020春•临江市校级期末）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　   　米长．

三．解答题（共5小题）

11．（2020秋•卫辉市期末）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？

12．（2020秋•盐湖区期中）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．

（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

13．（2021春•广州校级期中）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

14．（2020春•罗山县期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？

15．（2020春•安阳县期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

2021年新初二数学北师大新版新课预习《1.3勾股定理的应用》

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2021春•天河区校级期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）

A．17m B．18m C．25m D．26m

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】计算题；应用意识．

【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．

【解答】解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度＝＝12，

∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是12+5＝17（米）．

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．

2．（2021春•坡头区期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　）m．

A．3 B．4 C．5 D．8

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】常规题型．

【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．

【解答】解：如图所示：

∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，

∴BC＝＝5（m），

∴这棵树原高：3+5＝8（m），

故选：D．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度，再根据大树的高度＝AB+BC进行解答．

3．（2021春•九龙坡区校级月考）如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　）米．

A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米

【考点】平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有

【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

【解答】解：如图：

∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，

此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，

∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B＝

＝

＝1.3（m）．

故选：A．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

4．（2020秋•卫辉市期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）

A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16﹣12＝4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．

【解答】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线直径为5cm，高为12cm，

由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；

则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．

故选：B．

【点评】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解．

5．（2021春•同安区校级月考）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（　　）

A．10海里 B．20海里 C．30海里 D．40海里

【考点】方向角；勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．

【分析】根据题意画出图形，判断出三角形的形状解答即可．

【解答】解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），

∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，

∴BC＝＝＝30（海里）．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理解答，体现了数形结合的优点．

二．填空题（共5小题）

6．（2021春•海淀区校级期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为　64　cm2．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【分析】由勾股定理和正方形的面积公式解答．

【解答】解：由图可知正方形的边长为＝8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．

【点评】此题很简单，只要熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．

7．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　北偏东50°　方向航行．

【考点】方向角；勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】三角形；推理能力．

【分析】根据题意即可知AP＝12，BP＝16，AB＝20，利用勾股定理的逆定理可推出△APB是直角三角形，由甲船沿北偏西40°方向航行，即可推出乙船的航行方位角．

【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，

∵122+162＝202，

∴△APB是直角三角形，

∴∠APB＝90°，

由题意知∠APN＝40°，

∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，

即乙船沿北偏东50°方向航行，

故答案为：北偏东50°．

【点评】本题考查勾股定理的应用以及方位角，熟练掌握勾股定理并能熟练应用以及能正确找出方位角是解题的关键．

8．（2021春•海淀区校级期中）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部　8　m处．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．

【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．

【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：

62+x2＝（16﹣6）2，

解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

9．（2020秋•高新区校级月考）有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是　13或　cm．

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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【分析】分2种情况：①12cm是直角边；②12cm是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解．

【解答】解：①12cm是直角边，

第三根木棒要取的长度是＝13（cm）；

②12cm是斜边，

第三根木棒要取的长度是＝（cm）；

故答案为：13或．

【点评】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

10．（2020春•临江市校级期末）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　14　米长．

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【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．

【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．

【解答】解：根据勾股定理，可得楼梯水平长度为＝8米，

则红地毯至少要8+6＝14米．

故答案为：14．

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．

三．解答题（共5小题）

11．（2020秋•卫辉市期末）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？

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【分析】根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．

【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，

由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB﹣BE＝AB﹣DC＝1.3﹣0.8＝0.5（m），

故AC＝＝＝1.3（m），

则1.3÷0.2＝6.5（s），

答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出AE，EC的长是解题关键．

12．（2020秋•盐湖区期中）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．

（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

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【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；

（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．

【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），

∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），

在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），

∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；

（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，

∴AB2＝BM2+AM2，

∴△ABM是直角三角形，

∴BM⊥AC，

∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．

【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．

13．（2021春•广州校级期中）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

【考点】方向角；勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】行程问题；应用意识．

【分析】Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度；

【解答】解：由题意，得：AD＝60km，

Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．

∴BD＝80．

∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．

∴AC＝＝＝75（km）．

75÷25＝3（h）．

答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．

14．（2020春•罗山县期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．

【分析】直接利用勾股定理得出BD2＝DC2+BC2，进而求出答案．

【解答】解：设BC为h米，

Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3，

由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2，

即（h+1）2＝h2+32，

解得：h＝4．

因此湖深BC为4米．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．

15．（2020春•安阳县期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣3）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣3）2．

【解答】解：在Rt△ACB中，

AC2+BC2＝AB2，

设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣3）m，

故x2＝62+（x﹣3）2，

解得：x＝7.5，

答：绳索AD的长度是7.5m．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

考点卡片

1．方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角

（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）

（3）画方向角

以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．

2．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

3．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

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日期：2021/7/2 9:22:44；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867