八年级上册3 勾股定理的应用课时练习

1.3 勾股定理的应用（强化题）-北师大版八年级上册

一．选择题

1．如图，在河道l的一侧有M，N两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向M，N两个村庄．下列四种方案中，所需管道总长最短的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

A．5≤a≤6 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2

3．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）

A．90米 B．120米 C．140米 D．150米

4．如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米

5．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（　　）海里．

A．8 B．10 C．12 D．13

6．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺．

A．7.5 B．8 C． D．9

7．如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（　　）

A． B． C． D．

8．如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（　　）

A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm

9．如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向以每小时20海里的速度航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船从A处到B处所用的时间为（　　）

A．1小时 B．2小时 C．2.5小时 D．3小时

10．一个杯子的底面半径为6cm，高为16cm，则杯内所能容下的最长木棒为（　　）

A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm

二．填空题

11．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 　   　海里．

12．如图，是一个有盖的盒子，长宽高如图中标注，若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是 　   　．

13．如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆总长为24米，则旗杆顶部落在离旗杆底部 　   　米处．

14．如图为某教学楼楼梯，测得楼梯的底为5米，高为3米，为使学生在上下楼时有序上下，想在楼梯表面中间贴上隔离条，隔离条的长度至少需要 　   　．

15．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．

（1）梯子的长为 　   　米；

（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为 　   　米．

三．解答题

16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝100m，AC＝60m，求A，B两点间的距离．

17．图①是某小区的一组智能通道闸机，行人在右侧刷门禁卡识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通行，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和扇形DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于点G，H．若BG＝AG，BA＝ED＝60cm，求闸机通道的宽度GH．

18．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．

（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子的底端B也外移0.4m吗？请通过计算说明．

（2）点P为AB的中点，小明用一根绳子的一端固定在点P处，拉直后将另一端固定在点O处．你觉得这样能防止梯子下滑吗？简要说明理由．

19．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．

根据以上信息，求旗杆AB的高度．

20．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．

（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；

（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是：

故选：B．

2．【解答】解：如图，BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，

∴AD⊥BC，AD＝4cm，BD＝CD＝3cm，

∵∠ADB＝90°，

∴AB＝＝＝5（cm），

当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分a最短，此时a＝10﹣5＝5（cm）；

当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分a最长，此时a＝10﹣4＝6（cm），

∴a的取值范围是5≤a≤6，

故选：A．

3．【解答】解：∵AD2+BD2＝1202+502＝16900，AB2＝1302＝16900，

∴AD2+BD2＝AB2，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，

∴CD＝＝＝90（米），

∴BC＝BD+CD＝50+90＝140（米），

∴BC的长是140米，

故选：C．

4．【解答】解：∵在Rt△ABC中，

AB＝5米，BC＝3米，

∴AC＝＝＝4（米），

在Rt△CDE中，

∵DE＝AB＝5米，CE＝BC+BE＝3+1＝4（米），

∴DC＝＝＝3（米），

∴AD＝AB﹣DC＝4﹣3＝1（米）．

答：梯子顶端A下落了1米，

故选：A．

5．【解答】解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，

∴∠AOB＝90°，

∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），

∴AB＝＝＝10（海里），

故选：B．

6．【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，

即：，

解得：x＝，

即芦苇的长度为：尺，

故选：C．

7．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，

根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，

解得x＝．

故选：B．

8．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；

根据勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；

∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；

故拉伸后橡皮筋的长为20cm．

故选：A．

9．【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，

∴AB＝2AP＝60（海里），

∴轮船从A处到B处所用的时间为＝3（小时），

答：则此时轮船从A处到B处所用的时间为3小时，

故选：D．

10．【解答】解：杯子最长对角线长为：＝20（cm），

故选：D．

二．填空题

1．【解答】解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，

∴∠AOB＝90°，

∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），

∴AB＝＝＝10（海里），

故答案为：10．

2．【解答】解：由勾股定理得，B′C＝＝15，

A′C＝＝17，

答：细棒的最大长度是17．

3．【解答】解：由题意得，折断的旗杆为24﹣9＝15米，

旗杆顶部距离旗杆底部的距离为：（m），

故答案为：12．

4．【解答】解：∵隔离条铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

∴隔离条的长度至少是3+5＝8（米）．

故答案为：8米．

5．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，

∵∠AOB＝90°，AC＝2米，CB＝1.5米，BC2+AC2＝AB2，

∴AB2＝22+1.52＝6.25，

∴AB＝±2.5，

∵AB＞0，

∴AB＝2.5米，

即梯子的长为2.5米，

故答案为：2.5；

（2）由题意得CD＝AC+0.4＝2.4米，BE＝AB＝2.5米，

∴BF2＝2.52﹣2.42＝0.49，

∴BF＝0.7米，

∴CD＝CB+BF＝1.5+0.7＝2.2米，

故答案为：2.2．

三．解答题

1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝100m，AC＝60m，

由勾股定理得：，

即A、B两点间的距离为80m．

2．【解答】解：由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，GH⊥BC，GH⊥EF，

所以GH的长度就是BC与EF之间的距离，

同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AG＝DH，

在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，AB＝60cm，

∴AG＝AB＝30（cm），

∴GH＝AG+DH+AD＝2AG+AD＝30×2+10＝70（cm），

∴闸机通道的宽度GH为70cm．

3．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，

OB＝＝0.7（米），

∵AO＝2.4，AC＝0.4（米），

∴CO＝2米，

在Rt△DOC中，

DO＝＝1.5（米），

∴BD＝DO﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），

故梯子的底端B外移不是0.4m而是0.8m；

（2）不能防止梯子下滑．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，梯子若下滑，绳子的长度不变，并不拉伸，对梯子无拉力作用．

4．【解答】解：设AB＝x，根据题意得：

在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，

即：（x+1）2＝（x﹣1）2+62，

解得：x＝9．

答：旗杆AB的高度为9米．

5．【解答】解：（1）连接AC，

技术人员测量的是A，C两点之间的距离，

确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理；

（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，

∴AC＝＝15（m），

∵CD＝17m，AD＝8m，

∴AD2+AC2＝DC2，

∴∠DAC＝90°，

∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），

S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54，

∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），

∴150×114＝17100（元），

答：绿化这片空地共需花费17100元．