数学12.3 角的平分线的性质巩固练习

这是一份数学12.3 角的平分线的性质巩固练习，共16页。试卷主要包含了如图，AD是△ABC的角平分线等内容，欢迎下载使用。

1．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8B．7.5C．15D．无法确定
2．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cmB．2cmC．3cmD．4cm
3．（2021春•高州市月考）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．不能确定
4．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15B．30C．12D．10
5．（2020秋•茌平区期末）如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•肇源县期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 ．
7．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 ．
8．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 ．
9．（2020秋•荔湾区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为 ．
10．（2020秋•利通区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•韩城市期中）如图，△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于P，求证：点P在∠BAC的平分线上．
12．（2020秋•利通区期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长．
13．（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
14．（2020秋•金乡县期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
15．（2019秋•无锡期末）如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．
2021年新初二数学人教新版新课预习《12.3角的平分线的性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8B．7.5C．15D．无法确定
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cmB．2cmC．3cmD．4cm
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．（2021春•高州市月考）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．不能确定
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质即可得到DE＝DC．
【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE的长即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE，
∵CD＝4cm，
∴DE＝4cm，即点D到AB的距离为4cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
4．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15B．30C．12D．10
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；应用意识．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2020秋•茌平区期末）如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【考点】角平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据角平分线的性质，作三角形的三外角平分线，有三个交点，内角平分线有一个交点，共有4个．
【解答】解：如图所示：M、N、G是三角形的三个外角平分线的三个交点，H为内角平分线的交点，
符合条件的地点有4个，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•肇源县期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 2 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得PE＝PD＝2．
【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟记定理是解题的关键．
7．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
8．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．（2020秋•荔湾区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为 2 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】过D点作DF⊥BC于F，如图，利用三角形面积公式得到DF＝2，然后根据角平分线的性质得到DE＝DF．
【解答】解：过D点作DF⊥BC于F，如图，
∵△BCD的面积为5，
∴DF•BC＝5，
而BC＝5，
∴DF＝2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
10．（2020秋•利通区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为 5 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×5×2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•韩城市期中）如图，△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于P，求证：点P在∠BAC的平分线上．
【考点】角平分线的性质．
【分析】首先过点P作PD⊥AM于点D，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AN于点F，由BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，根据角平分线的性质，易证得PD＝PE＝PF，又由在角内部，且到角两边距离相等的点，在此角的平分线上，证得P点在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：过点P作PD⊥AM于点D，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AN于点F，
∵BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，
∴PD＝PE，PF＝PE，
∴PD＝PF，
∴P点在∠BAC的平分线上
【点评】此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．（2020秋•利通区期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长．
【考点】角平分线的性质．
【专题】面积法．
【分析】根据角平分线的性质可知DF＝DE＝2，再依据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可求AC值．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，
∴9＝×5×2+×AC×2，
∴AC＝4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要体现在垂线段相等，一般可作为某三角形的高处理三角形的面积问题．
13．（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
【考点】角平分线的性质．
【专题】图形的全等．
【分析】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，则可根据SAS判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14．（2020秋•金乡县期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距离．
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴OP平分∠MON．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
15．（2019秋•无锡期末）如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，利用角平分线的性质得到DF＝DE．再利用三角形面积公式得到×DE×10+×DF×4＝14，然后解方程即可．
【解答】解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，
∴DF＝DE．
∵△ABC的面积为14，
∴S△BCD+S△ACD＝14，
∴×DE×10+×DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
考点卡片
1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
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日期：2021/7/2 9:03:48；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867