2020-2021学年15.1.2 分式的基本性质教案

1.分式的概念

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

叫做分式.在分式中，A叫做分子，B叫做分母.

2.分数的基本性质

一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.

 ,   (c≠0)，   其中a，b，c都是数.

类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？

如图，三个完全相同的小长方形如图摆成一个大长方形，如果一个小长方形的面积为S，长为a，你能求出长方形的宽吗？

从一个小长方形来看宽可以表示为   ，从大长方形来看宽可以表示为 ，从图上可以知道这这两个宽是相同的，所以 =

可以发现分式的分子、分母乘以同一个不是0的数，分式的值不变.

如果m个完全相同的小长方形如图摆放，我们同样可以得到:

=

如果(m+n)个完全相同的小长方形如图摆放，我们同样可以得到:

= = =

分式的分子、分母乘以同一个不是0的整式，分式的值也不变.

因为字母可以表示不同的数，所以分式也具有类似分数的基本性质.

分式的基本性质：分式的分子、分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.

即

     ,   (C≠0)

其中A,B,C是整式.

例1.填空：

（1） =      （2） =

（3） =    （4） =  (b≠0)

（5） =

分析：（1）因为 的分母xy除以x才能化为y，为了保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也要除以x.即

= =

（2） 的分子3x2+3xy=3x(x+y),除以3x化为x+y，所以分母也要除以3x，即

= =

（3） 的分母ab乘a才能化为a2b，根据分式的基本性质，分子也要乘a.即

   = =

（4） 的分母a2乘b化为a2b，根据分式的基本性质，分子也要乘b.即

  = =

     （5） 的分子m乘m-1化为m2-m，根据分式的基本性质，分母也要乘m-1，即

      = =

练习：

1.填空

（1）         = ；           （2）   ．

答案：（1） 5y           （2） x-y  

2．下列各式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

例2.不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的字母系数都不含“—”号.

（1）       （2）     （3）  -

分析：类比学习分数时符号的变化，利用分式的基本性质进行变形可得

（1） =      （2） =-

（3） - =  - =

练习：

不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．

（1）    （2）    （3）    （4）

例3.把下列分式中的字母a，b同时扩大到原来的2倍，分式的值会怎么变化？

（1）           （2）

分析：式子中的字母同时扩大，所以需要把字母换为原来的2倍，再利用分式的基本性质变形对比.

（1） =   分子分母都除以2得 ，所以分式的值

不变.

（2） =   分子分母都除以2得 ，所以分式的值扩大到原来的2倍.

练习：

如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（  ）

A．扩大10倍  B．缩小10倍   C．是原来的    D．不变

例4. 不改变分式的值把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数.

（1）          （2）

分析：（1）通过观察，可以发现字母的系数分别为0.1，0.3，-0.4，都乘10，就可以化为整数，所以分式的分子分母都乘10.即

  = =

     （2）分式中字母的系数分别为，，，，都乘2，4，3的最小公倍数12即可化为整数，所以分子分母都乘12.即

= =

练习：不改变分式的值把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数.

（1）                    （2）

答案：（1）       （2）    

分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变

应用分式的基本性质需要注意：

1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换；

2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；

3）所乘（或除以）的整式应该不等于0.

分式的变号法则：

分式本身及其分子、分母这三处的正负号中，同时改变两处，分式的值不改变.

1. 写出等式中未知的分子或分母：

① =      ②   =       ③

2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号：

①-       ；      ②=        .

3. 把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （   ）

A．扩大为原来的5倍              B．不变 

C．缩小到原来的                D．扩大为原来的倍

4. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号:

①            ②  

5. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数:     ①          ②