北师大版第四章 图形的相似综合与测试单元测试同步练习题

第四单元测试卷

一、选择题

1．已知，则的值为(　　)

A． B． C． D．

2．有以下命题：

①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；

②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；

③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；

④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．

其中正确的判断有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，直线l1l2l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为(　　)

A．6 B．9 C．10 D．25

4．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，路板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(          )

A．1.2米 B．1米 C．0.8米 D．1.5米

5．如图，在中，，若，则等于(  )

A． B． C． D．

6．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为(　　)

A．2：1                       B．3：1          C．：1                                                 D．4：1

7．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是(    )

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁

8．如图，点E在▱ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有(     )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

9．如图，，，以下结论成立的是(    )

A． B．

C． D．以上结论都不对

10．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于( )

A． B． C． D．

11．平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

12．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为(   )

A． B． C． D．

13．有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是(    )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是(　　)

A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大

二、填空题

1.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为       .

2.如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP＝1，点D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________.

3.如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部(点O)5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=________．

4.已知∠BAC=36°， 都是顶角36”的等腰三角形，即°，点在射线AC上，在射线AB上，若，则线段的长为_________；

三、解答题

1.如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、．若，＝．

(1)求的长；

(2)如果＝，＝，求的长．

2.如图，四边形与四边形相似，求的大小和的长度．

3.如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．

(1)判断这两个三角形是否相似？如果相似，请说明理由．

(2)在网格内再画一个三角形△D1E1F1，使它与△DEF相似，使其相似比为．

4.如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且．

求证：(1)∽；

(2)

5.如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均为格点．

(1)请以点O为位似中心，在网格中作出四边形，使四边形与四边形位似，且．

(2)线段的长为______．

(3)求出的面积．

6.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．

(1)当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；

(2)求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．

7.已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，交AB于F，连结FC(AB>AE)．

(1)求证：

(2)与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．

(3)设，是否存在这样的值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由．

8.(1)(问题发现)

如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．

填空：①线段与的数量关系为______；

②直线与所夹锐角的度数为_______．

(2)(拓展探究)

如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．

(3)(解决问题)

如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

答案

一、选择题

1．D．2．C．3．B．4．C5．B．6．C．7．C．8．C.

9．C．10．A．11．C．12．D．13．D．14．D．

二、填空题

1.8．

2.．

3.7.5米

4.．

三、解答题

1.解：(1)∵AD∥BE∥CF

∴，即，

又∵，即，AC=14，

∴AB=4；

 (2)过A作AG∥DF交BE于H，交CF于G，如图所示：

∵AD∥BE∥CF，AD=7，

∴AD=HE=GF=7，

又∵CF=14，

∴CG=7，

又∵BE∥CF，

∴ ，

故BH=2，

∴BE=BH+HE=9．

2.∵四边形与四边形相似，

．

在四边形中，．

∵四边形与四边形相似，

，

解得

3.(1)相似，理由如下：

由题意得：

△ABC∽△EDF

(2)如图所示：

4.证明：(1)∵，∴，

∵四边形ABCD是菱形，∴，

∴，∵，

∴；

(2)∵，∴，

∵四边形ABCD是菱形，∴，，

∴，

∵，∴，∴，

∴，

∴．

5.(1)如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求：

(2)．

(3)，

，

，

∴，．

∴为等腰直角三角形，

∴．

即的面积为10．

6.解：(1)设PQ=xmm，
易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，

，

即，

，

∵PN=PQ，

，

解得x=48．
故正方形零件PQMN面积S=48×48=2304(mm2)．

(2)

当时，S有最大值==2400(mm2)．

所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.

7.解：(1)∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEC=∠AFE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE；

(2)△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，

∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠GED，∠A=∠EDG，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC(SAS)．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AEF∽△ECF；

(3)存在k值，使得△AEF与△BFC相似．
理由如下：
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
当∠AFE=∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的；
当∠AFE=∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，
设BC=a，则AB=ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF=ka，BF=ka，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，k=．

8.解：(1)【问题发现】如图①中，①线段与的数量关系为；

②直线与所夹锐角的度数为．

理由：如图①中，连接．易证，，三点共线．

∵．，

∴．

故答案为，．

(2)【拓展探究】结论不变．

理由：连接，，延长交的延长线于点，交于点．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

(3)【解决问题】

①当点M在线段BC上时，如图，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，

即∠BAM=∠CAN，

∵，

∴△ABM∽△CAN，

∴，

∴CN=BM，

∵，

∴BM=AC-CM=2，

∴CN=BM=；

②当点M在线段BC的延长线上时，如图，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，

即∠BAM=∠CAN,

∵,

∴△ABM∽△CAN，

∴，

∴CN=BM，

∵，

∴BM=AC+CM=2=6，

∴CN=BM=．