初中数学2 矩形的性质与判定同步达标检测题

1.2 《矩形的性质与判定》习题1

一、选择题

1．矩形不具备的性质是(　　)

A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直

2．下列命题中，真命题是(　　)

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形

3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(﹣2，﹣1)(﹣2，2)和(4，﹣1)，则第四个顶点的坐标为(　　)

A．(﹣2，2) B．(4，2) C．(4，4) D．(4，3)

4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是(    )    

A． B． C． D．

5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是(    )

A． B． C． D．

6．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若图中阴影部分的面积为6,则矩形ABCD的面积为(　　     )

A．12 B．18 C．24 D．30

7．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图1)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)观察所得到的四边形，下列判断正确的是(　　)

A．∠BCA＝45° B．AC＝BD

C．BD的长度变小 D．AC⊥BD

8．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若AB＝4，BC＝6，且AH＜DH，则

AH的长为(    )

A．3- B．4- C．-2 D．6-

9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 (    )

A．2 B．3 C．4 D．5

10．矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积(     )

A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变

11．如图，在矩形中，，点分别在上，则的最小值是()

A． B． C． D．

12．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是(　　)

A．∠BAC=90° B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC

13．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为(　　)

A． B． C．3 D．2

14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，下列4个结论中说法正确的有(    )

①；②；③；④．

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

二、填空题

1.如图，一块长为a(cm)，宽为b(cm)的长方形地板中间有一条裂痕(如图甲)，若把裂痕右边的一块向右平移1cm(如图乙)，则产生的裂缝的面积是____cm2．

2.如图，将矩形纸片折叠，两点恰好重合落在边上点处，已知，PM=3,，那么矩形纸片的面积为________.

3.如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝9，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP＝_____________．

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与矩形OABC的边BC、OC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则的面积是_________．

三、解答题

1.如图，在平行四边形中挖去一个矩形，在请用无刻度的直尺，准确作出一条直线，将剩下图形的面积平分．(保留作图痕迹) 

2.如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD⊥CD，点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．

(1)求证：AC＝BD；

(2)若BC＝2，BE＝6，∠ABE＝30°，求EC的长．

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；

(2)连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．

4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

(1)求的周长；

(2)若为的中点，试确定与的关系；

(3)若点在线段上运动，是否存在点，使的长最短？若不存在，请说明理由；若存在，请求出的长；确定长的取值范围．

5.如图，▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．

6.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

(1)判断OE与OF的大小关系．并说明理由；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．

7.如图，△ABC 的中线 AD、BE、CF 相交于点 G，H、I 分别是 BG、CG 的中点．

(1)    是△ABC 的中位线，EF 与 BC 位置关系是     、数量关系是     ；    是△GBC 的中位线，HI 与 BC 位置关系是     、数量关系是     ；

(2)求证：四边形 EFHI 是平行四边形；

(3)当 AD 与 BC 满足条件     时，四边形 EFHI 是矩形；(直接写出结论)当 AD 与 BC 满足条件         时，四边形 EFHI 是菱形．(直接写出结论)

8.如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4 ，将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转，得到矩形BEFG.

(1)当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于       ；

(2)如图2，当点E落在AC上时，求BCE的面积；

(3)如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由，并求CE 2+AG 2的值；

(4)在旋转过程中，请直接写出的最大值．

答案

一、选择题

1．D．2．C．3．B．4．D.5．D．6．C．7．B．8．A．9．B

10.D．11．B．12．D．13．D．14．B．

二、填空题

1.b．

2.28.8

3.7.2

4.．

三、解答题

1.如图所示：

2.(1)证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD；

(2)解：过E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，如图，则∠F＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠F＝∠ABC，

∴AB∥EF，

∴∠ABE＝∠FEB＝30°，

∵BE＝6，

∴，

由勾股定理得：，

∵BC＝2，

∴FC＝2+3＝5，

在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝．

3.(1)证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴BC＝AB，∠ABC＝60°，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，

∴∠ABC＝∠BAD，

∴BC∥DA，

∵点E是线段AB的中点，

∴CE＝AB＝BE＝AE，

∵∠ABC＝60°，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC＝60°＝∠ABD，

∴BD∥CF，

∴四边形BCFD为平行四边形；

(2)证明：如图所示：

∵BD∥CF，BE＝AE，

∴AF＝DF＝AD，

∴BC＝AF，

又∵BC∥DA，

∴四边形BCAF是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，

∴四边形BCAF是矩形．

4.解：(1)由勾股定理得：

(2)如图，连接，

为的中点，

(3)过C作CP⊥AB，

的最小值为：

当与重合时最长，

＜＜

5.(1)∵四边形ABCD是平行四边形

∴

又∵

∴，即

∴四边形AECF为平行四边形

又∵

∴四边形AECF是矩形；

(2)在中，

∴

∵四边形AECF是矩形

∴

∵BF平分

∴

在中，

∴．

6.解：(1)OE=OF，理由如下：

∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACB外角的平分线，

∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠GCF=∠ACG.

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACG=(ACB+∠ACG)=∠BCG=90°.

∵MN∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC

同理OF=OC，所以OE=OF

(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以当OA=OC时，对角线AC与EF互相平分且相等，

而对角线相等的平行四边形是矩形，

则当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

7.(1)证明：∵BE，CF是△ABC的中线，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF=BC.

∵H、I分别是BG、CG的中点。，

∴HI是△BCG的中位线，

∴HI∥BC且HI=BC，

故答案为：EF，，；，，

(2)证明：由(1)得：，，，

∴

∵四边形是平行四边形，

(3)当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形，理由如下：

∴FH∥AG,FH=AG，

∴FH∥AD，

∵EF∥BC，AD⊥BC，

∴EF⊥FH，

∴∠EFH=90∘，

∴平行四边形EFHI是矩形；

当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形；理由如下：

∵△ABC的中线AD，BE与CF交于点G，

∴，

∵

∴，

∵

∴

∵四边形EFHI为平行四边形，

∴四边形EFHI为菱形；

故答案为：，．

8.(1)解：当落在上时，如图所示：

∵四边形是矩形，

∴每个内角都等于90°，

∵，由勾股定理得：

，

由旋转的性质可知：，

∴，

故答案为：2；

(2)解：当点E落在AC上时，过点B作BM⊥AC于点M，

在中，由勾股定理得：

,

∵是直角三角形，BM⊥AC，

∴,

∴，

在中，由勾股定理得：

，

在中，由勾股定理得：

，

∴，

∴；

(3)线段AE与CG的位置关系是垂直，理由如下：

证明：连接AC、EG，设AE与CG相交于点N，AE与BC相交于点P，

由旋转的性质知：，，

∴在等腰和等腰中得到：，，

∴，

∵，

∴，

即；

∵，

∴，

由矩形的性质可以得到：，

∴；

(4)过点C作CH⊥直线BE于点H，过点G作EQ⊥直线AB于点Q，

∴，，

∵

∴，

∴当最大时，最大，

在旋转过程中，，

∴，

∴当点三点共线时，，此时最大，

∴的最大值为：．