初中数学3 正方形的性质与判定课时练习

1.3 《正方形的性质与判定》习题1

一、选择题

1．下列性质中正方形具有而菱形不具有的是(    )

A．对角线互相平分 B．对角线相等

C．对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组对角

2．下列命题不正确的的是(    )

A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

B．对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质

C．有一个角的是直角的四边形是矩形

D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形

3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为(    )

A． B． C． D．

4．四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四边形是(　　)

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

5．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

6．下列说法：

四边相等的四边形一定是菱形

顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

对角线相等的四边形一定是矩形

经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有　　个．

A．4 B．3 C．2 D．1

7．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是(    )

A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤

8．如图，在正方形的外侧，作等边，则为(　　)

A．15° B．35° C．45° D．55°

9．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形，图中阴影部分的面积为(    )

A．a2 B．a2 C．(1﹣)a2 D．(1﹣)a2

10．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝(    )

A．30° B．45° C．55° D．60°

11．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则(    )

A．6 B．2.4 C．3.6 D．4.8

12．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为(  )

A．2.8 B． C．2.4 D．3.5

13．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为(　　)

A．6 B．8 C．12 D．10

14．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过(    )秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

二、填空题

1.如图，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是_____________．

2.如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是_____．

3.如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，∠BAE=n°．如果在边AB、CD上分别找一点F、G，使FG=AE，FG与AE相交于点O，那么∠GOE的大小等于_______________．

4.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．

三、解答题

1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，求证：AF⊥DE．

2.已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．

求证：．

3.正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上，分别连接BD、BF、FD，得到BFD．

(1)在图1、图2、图3中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：

(2)若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为，猜想的大小，并结合图3证明你的猜想.

4.如图，四边形ABCD为正方形，连接AC.

(1)请用尺规作图法在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度． (保留作图痕迹，不写作法)

(2)若正方形ABCD的边长为4，求(1)中所得的BP的长

5.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF

(1)求证：BE = DF；

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

6.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．

(1)求证：DE∥BF

(2)若四边形DEBF的面积为8，AE＝，则正方形边长为　　  　．

7.如图，在Rt△ABC中，ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

(1)求证：四边形ADEC是平行四边形；

(2)当D在AB中点时，请解答下面两个问题：

①求证：四边形BECD是菱形

②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

8.同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换     旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．

(1)(问题提出)

如图①，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN．  

证明思路如下：

第一步：如图②，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．

第二步：证明．

请你按照证明思路写出完整的证明过程.

(2)(初步思考)

如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到和．

下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE=∠CDG．

其中所有正确结论的序号是　　  　．

答案

一、选择题

1．B.2．C3．B．4．D．5．C．6．C．7．D.8．C．9．D．

10．B.11．C12．B．13．D．14．A．

二、填空题

1.64

2.150°．

3.90°或(90−2n)°．

4.①②③④．

三、解答题

1.证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，

又∵E，F分别是边AB．BC的中点

∴AE＝AB．BF＝BC

∴AE=BF．

在△ABF与△DAE中，

，

(SAS)．

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ADG+∠DAG=90°，

∴∠DGA=90°，

即AF⊥DE．

2.解：∵四边形ABCD为正方形，

∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，

∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，

∴∠COE=∠DOF，

∴△COE≌△DOF(ASA)，

∴CE=DF．

3.(1)都是(2)如图，连接CF，有正方形的性质可知

的高相同

4.(1)由角平分线的性质得：点P为的角平分线与边BC的交点

分以下三步作图：

①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AC于点M，交AB于点N

②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O

③过点A、O作射线，与边BC交于点P

则如图所示，点P即为所作；

(2)如图，过点P作于点Q，则

四边形ABCD是边长为4的正方形

在和中，

又

是等腰直角三角形

．

5.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)

∴BE=DF；

(2)四边形AEMF是菱形，理由为：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°(正方形的对角线平分一组对角)，

BC=DC(正方形四条边相等)，

∵BE=DF(已证)，

∴BC-BE=DC-DF(等式的性质)，

即CE=CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF(SAS)，

∴OE=OF，

又OM=OA，

∴四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，

∵AE=AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．

6.(1)连接BD，交AC于点O，

在正方形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

∵AE＝CF，

∴OA−AE＝OC−CF，

∴OF＝OE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴DE∥BF；

(2)∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OD，OA⊥OD，

∴OD＝OE＋AE＝OE＋，

∵四边形DEBF是平行四边形，OA⊥OD，

∴四边形DEBF是菱形，

∵四边形DEBF的面积为8，

∴BD•EF＝8，

即×2OD•2OE＝8，

∴OD•OE＝4，

∵OD＝OE＋，

∴OE＝，OD＝2，

∴AD＝OD＝4，

故答案为：4．

7.(1)证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴∠ACB=∠DFB=90°，

∴AC∥DE，

又∵MN∥AB，∴CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形；

(2)①四边形BECD是菱形，理由：

∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，四边形ADEC是平行四边形，

∴CD=AB=AD=BD，CE=AD，

∴CE=AD，

∵CE∥AD，BC⊥DE，

∴四边形BECD是菱形；

②若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∵四边形BECD是菱形，

∴DC=DB，

∴∠DBC=∠DCB=45°，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴四边形BECD是正方形．

8.(1)证明：将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，

在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABM=∠D=90°，

由旋转可知，

∴ ∠D=∠ABE=90°，∠DAN=∠BAE，AN=AE，DN=BE，

∴ ∠ABE＋∠ABM=180°

∴ E、B、M三点在一条直线上            

∵ ∠MAN=45°

∴ ∠DAN＋∠BAM=45°

∵ ∠DAN=∠BAE

∴ ∠BAE＋∠BAM=∠EAM=45° 

  ∴ ∠EAM=∠MAN  

∵ AN=AE，AM=AM

∴ (SAS)

∴ ME=MN 

∵ ME=BE＋BM

∴ MN=DN＋BM 

(2)如图， 正方形，正方形，

但是： 而与不一定相等，

所以：与不一定全等，

所以：两个三角形的周长不一定相等，与不一定相等，

故①③错误，