北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定课后复习题

1.2 《矩形的性质与判定》习题2

一、选择题

1．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝50°，则∠BGE＝( )

A．100° B．90° C．80° D．70°

2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是(　　)

A．110° B．120° C．140° D．150°

3．在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：

甲：将矩形按图1所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；

乙：将矩形按图2所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．

对于这两人的操作，以下判断正确的是(    )

A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确

C．甲不正确、乙正确 D．甲正确、乙不正确

4．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为(     )

A．15° B．20° C．25° D．30°

5．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，且EF丄 EC，DE =2，矩形的周长为16，则AE的长是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．7

6．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为(　　)

A．2 B． C．2 D．

7．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为、，则的值为(    )

A．10 B．4.8 C．6 D．5

8．如图，在中，，，，是斜边上动点，于，于，与相交于点，则的最小值是( )

A． B． C． D．

9.如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是(　　)

A．四边形CEDF是平行四边形

B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形

C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形

D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形

10.如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是(　　)

A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°

C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90° D．AB＝CD，AC＝BD

11.如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点和，直线交于点，连结，则的度数为(  )

A． B． C． D．

12.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )

A．20 B．12 C．14 D．13

13.如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA ，M是OP的中点，DM=4 cm．若点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( 　)cm．

A．7 B．6 C．5 D．4

14.如图，一根木棍斜靠在与地面()垂直的墙()上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点到点的距离(    )

A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断

二、填空题

1.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝________°．

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，则∠BOE的大小为______．

3.如图，矩形中，，点在上，且，连接，将沿直线翻折，点恰好落在上的点处，则_________．

4.如图，D是△ABC中BC边中点，∠EDF＝60°，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若EF＝4，则BC＝__．

5.如图，在中，，点，，分别是，，的中点，若，则线段的长是__________．

三、解答题

1.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△BCD沿BD所在直线翻折，使点C落在点F上，如果BF交AD于E．

(1)求证：△ABE≌△FDE；

(2)求AE的长．

2.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．

(1)求证：AF＝CE；

(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．

3.如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．

(1)证：．

(2)的度数．

(3)知，求的长．

4.如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；

(2)若∠A=50°,则当∠BOD=___°时，四边形BECD是矩形.

5.如图，在平行四边形ABCD中，，E是CD的中点，连接AE、BE.

(1)求证：AE平分；

(2)过点A作AF∥BE，过点B作BF∥AE，AF、BF交于点F，连接EF，求证：．

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.

求证：(1)△ODE≌△FCE;

(2)四边形OCFD是矩形。

7.如图，的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2，，求证：四边形OCED是矩形．

8.如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)当AB=AC时，判断四边形DEFG的形状．(无需证明)

9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE

求证：(1)△ABF≌△DCE；

(2)四边形ABCD是矩形．

10.已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．

(1)求证：D是BC的中点；

(2)如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

答案

一、选择题

1．A.2．B．3．A．4．B．5．A．6．D．7．B．8．D．9.D．

10.D．11.D．12.C．13.D．14.B．

二、填空题

1.35

2.75°．

3.

4.8．

5.2．

三、解答题

1.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
由翻折的性质可知，DF=DC，∠F=∠C=90°，
∴∠A=∠F=90°，AB=FD，
∵∠AEB=∠FED，
∴△AEB≌△FED(AAS)；
(2)解：∵△AEB≌∠FED，
∴AE=EF，
根据折叠可得：BF=BC=4，
设AE=，
则EF=，BE=BF-EF=，
在Rt△AEB中，由勾股定理可得：AB2+AE2=EB2，
代入得：32+2=()2，
解得：

即AE=．

2.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠B及AD=BC，

在与中，

∵，

∴，

∴AF=CE；

(2)如图，连接AC，

由(1)可知：AF=CE，

∴AF=4，

在中，

∵∠DAF=30°，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，

∴∠FCA=∠EAC，

∵AC平分∠FAE，

∴∠FAC=∠EAC，

∴∠FCA=∠FAC，

∴AF=CF=4，

∴CD=FC+DF=6.

3.解：(1)证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB

∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=60°

∵矩形旋转

∴=∠ACB=30，∠BAC==60°

∴=30°

∴=30°

∴

(2)由(1)知∠BAC=60°

∵AB=

∴△为等边三角形

∴∠=60°

∵∠=90°

∴∠=∠+∠=150°

∵

∴

∴=

∵=180°

∴+150°=180°

∴=15°

(3)如图，连接AF，作AHBF于点H

∵在Rt△ABH中，∠AHB=90°，AB=2，∠ABH==45°

∴Rt△ABH是等腰直角三角形

∴AH=BH=AB·sin∠ABH=2×=

∵在△中，∠=90°，=AB=2

∴AF=

∴在Rt△AHF中，HF=

∴BF=BH+HF=+

4.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD，

∴∠OEB=∠ODC，

又∵O为BC的中点，

∴BO=CO，

在△BOE和△COD中

∴△BOE≌△COD(AAS)；

∴OE=OD，

∴四边形BECD是平行四边形；

(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形。理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠A=50°，

∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，

∴∠ODC=100°−50°=50°=∠BCD，

∴OC=OD，

∵BO=CO，OD=OE，

∴DE=BC，

∵四边形BECD是平行四边形，

∴四边形BECD是矩形；

故答案为：100.

5.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAB=∠DEA，
∵E是CD的中点，AB=2AD，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE=∠EAB，
∴AE平分∠DAB；
(2)证明：∵AF∥BE，BF∥AE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
由(1)得：AE平分∠DAB，
同理：BE平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠CBE=∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AFBE是矩形，
∴EF=AB．

6.证明：(1)，

，.

E是CD中点，，

又

(AAS)

(2)，

，.

，

四边形OCFD是平行四边形，

平行四边形ABCD是菱形，

.

平行四边形OCFD是矩形.

7.解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=，

∵将△ABO平移到△DCE，
∴AO=DE=1，BO=CE=2，
∴CO=DE，DO=CE，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5，
∴CO2+DO2=CD2，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．

8.解：(1)证明：∵BD、CE是△ABC的中线，

∴AE=BE，AD=CD，

∴DE∥BC，，

∵F、G分别是OB、OC的中点，

∴FG∥BC，，

∴DE∥FG，DE=FG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

(2)当AB=AC时，四边形DEFG是矩形．

证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线，

∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，

又BC=CB，

∴△EBC≌△DCB(SAS)，

∴CE=BD，∠BCE=∠CBD，

∴OC=OB，

∴OE=OD，

∵四边形DEFG是平行四边形，

∴，

∴EG=DF，

∴四边形DEFG是矩形．

9.(1)∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，

∴BF=CE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC．

在△ABF和△DCE中，

∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，

∴△ABF≌△DCE．

(2)∵△ABF≌△DCE，

∴∠B=∠C．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠B+∠C=180°．

∴∠B=∠C=90°．

∴平行四边形ABCD是矩形．

10.(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE(AAS)．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中点．
(2)解：四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF=DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形．