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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义优质教学设计及反思
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义优质教学设计及反思，共15页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，补偿训练，解题策略，变式探究，跟踪训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。
编号：024 课题:§12.3 复数的几何意义
目标要求
1、理解并掌握复数的几何意义及复平面、复数的模等相关概念．
2、理解并掌握复数与复平面上点的对应关系．
3、理解并掌握复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义．
4、理解并掌握复数的模.
学科素养目标
复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.
重点难点
重点：复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义；
难点：复数的模．
教学过程
基础知识点
1.复平面
【思考】
有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?
2.复数的几何意义
(1)对应关系:
复数 ___复平面内的点Z(a,b)__.
复数平面向量.
因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用下图表示.
为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量,并且规定相等的向量表示同一个复数.
(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.
(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫作复数的模;
(2)记法:复数z=a+bi的模记作___________________;
(3)公式:.
4.复数加、减法的几何意义
(1)如图所示,
设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是,与对应的向量是;
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合);
(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】
的几何意义是什么?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.
B. 复数的模一定是正实数.
C. 复数的充要条件是.
D. 若复数，则它的模为1.
题2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i
题3.在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则等于 ( )
A. B. C. D.
关键能力·合作学习
类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
题4.复数 (i为虚数单位)其中,则复数z在复平面上所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
题5.复数和在复平面内的对应点关于 ( )
A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称
题6.已知复数,其中.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;(2)在第三象限.
【补偿训练】
题7.求当实数m为何值时,复数在复平面内的对应点分别满足下列条件:
(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象)
角度1 复数与向量的对应
【典例】题8.(1)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线
y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为 ( )
A.-2-i B.1+2i C.-2+i D.-1+2i
(2)在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,
所得向量对应的复数是 ( )
A. B. C. D.
角度2 复数加减运算的几何意义
【典例】题9.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,
试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)所表示的复数;
(3)所表示的复数及的长度.
【解题策略】
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【题组训练】
题10.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点
为B,则向量对应的复数为 ( )
A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i
题11.已知复数(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若,则x+y=__________.
类型三 复数的模(直观想象、数学运算)
角度1 复数模的计算
【典例】题12.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=______.
【变式探究】
题13.设复数,且,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
角度2 复数模的几何意义
【典例】题14.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
【解题策略】
复数几何意义的应用
表示复平面内对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】
题15.若,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
题16.若复数z满足 (i为虚数单位),
则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
题17.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
备选类型 复数的模及其几何意义的应用技巧(数学抽象、数学运算)
【典例】题18.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为________.
【解题策略】
(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为形式;步骤二:代入公式求复数的模.
(2)在复平面内,两点间的距离是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.
【跟踪训练】
题19.若复数z满足|z|=2,则的取值范围是________.
课堂检测·素养达标
题20.若z=1+i,则 ( )
A.0 B.1 C. D.2
题21.已知复数,则|z|= ( )
A. B.1 C. D.2
题22.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,
则该平行四边形的对角线AC的长度为 ( )
A. B.5 C. D.10
题23.若复数满足y=2x,且,则复数z=________.
题24.已知z是复数,i是虚数单位,且,则|z|=________,复数在复平面内对应的点位于第________象限.
编号：024 课题:§12.3 复数的几何意义
目标要求
1、理解并掌握复数的几何意义及复平面、复数的模等相关概念．
2、理解并掌握复数与复平面上点的对应关系．
3、理解并掌握复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义．
4、理解并掌握复数的模.
学科素养目标
复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.
重点难点
重点：复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义；
难点：复数的模．
教学过程
基础知识点
1.复平面
【思考】
有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?
提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
2.复数的几何意义
(1)对应关系:
复数 ___复平面内的点Z(a,b)__.
复数平面向量.
因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用下图表示.
为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量,并且规定相等的向量表示同一个复数.
(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.
(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫作复数的模;
(2)记法:复数z=a+bi的模记作___或___;
(3)公式:.
|z|或|a+bi|
4.复数加、减法的几何意义
(1)如图所示,
设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是,与对应的向量是;
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合);
(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】
的几何意义是什么?
提示:表示复数对应的两点与间的距离.
即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.
B. 复数的模一定是正实数.
C. 复数的充要条件是.
D. 若复数，则它的模为1.
【答案】选AD
提示:A√.根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2.
B×.复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数.
C×.如-1>-2,但|-1|<|-2|.
D√.因为，所以.
题2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i
【解析】选B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.
题3.在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.,所以.
关键能力·合作学习
类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
题4.复数 (i为虚数单位)其中,则复数z在复平面上所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为,所以且,
所以该复数所对应的点位于复平面上的第三象限.
题5.复数和在复平面内的对应点关于 ( )
A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称
【解析】选A.复数在复平面内的对应点为.复数在复平面内的对应点为.点与关于实轴对称.
题6.已知复数,其中.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;(2)在第三象限.
【解析】复数的实部为,虚部为,在复平面内对应的点为
.
(1)若z对应的点在实轴上,则有,解得.
(2)若z对应的点在第三象限,则有解得.
【解题策略】
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
【补偿训练】
题7.求当实数m为何值时,复数在复平面内的对应点分别满足下列条件:
(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
【解析】(1)由题意,知解得 即-7
因为m=-7不符合不等式①,m=4符合不等式①,所以m=4.
故当m=4时,复数z的对应点位于x轴的负半轴上.
类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象)
角度1 复数与向量的对应
【典例】题8.(1)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线
y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为 ( )
A.-2-i B.1+2i C.-2+i D.-1+2i
(2)在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,
所得向量对应的复数是 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】(1)根据向量的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B
的坐标,最后根据点B的坐标求出的坐标.
(2)根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的复数.
【解析】(1)选C.由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量表示的复数为-2+i.
(2)选B.复数对应的向量的坐标为,按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为,所得向量对应的复数为.
【解题策略】
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
角度2 复数加减运算的几何意义
【典例】题9.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,
试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)所表示的复数;
(3)所表示的复数及的长度.
【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出的坐标,然后转化为复数.
(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量的坐标.
【解析】(1),所以所表示的复数为-3-2i.
因为,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)因为,所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3),它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,，
注意书写的规范性:手写向量时必须加箭头,注意向量的相等与相反之间的关系.
【解题策略】
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【题组训练】
题10.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点
为B,则向量对应的复数为 ( )
A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i
【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量对应的复数为-1+2i.
题11.已知复数(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若,则x+y=__________.
【解析】由条件可知，若,
则(3,－2)=(－x+y,2x－y),所以解得x=1,y=4,所以x+y=5.
答案:5
类型三 复数的模(直观想象、数学运算)
角度1 复数模的计算
【典例】题12.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=______.
【思路导引】设代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b.
【解析】设,则,
代入方程得,所以解得
所以z=-15+8i.
答案:-15+8i
【变式探究】
题13.设复数,且,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】选B.因为
所以,即,所以,即-1
【典例】题14.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
【思路导引】根据绝对值的几何意义,求出点Z在复平面内对应的集合,再求出|z+i+1|的最小值.
【解析】选A.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为,因为|z+i|+|z-i|=2, ,所以点Z的集合为线段.
问题转化为动点Z在线段上移动,求的最小值,因为,
所以.
【解题策略】
复数几何意义的应用
表示复平面内对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】
题15.若,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选C.因为,所以.
题16.若复数z满足 (i为虚数单位),
则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限.
题17.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈),所以,
由已知得,所以,所以.
方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知:.
备选类型 复数的模及其几何意义的应用技巧(数学抽象、数学运算)
【典例】题18.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为________.
【思路导引】利用复数的几何意义求解.
【解析】由题意知,复数z对应点的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆,|z-i|表示圆上的动点与点(0,1)的距离,由数形结合易知,最大值为3.
答案:3
【解题策略】
(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为形式;步骤二:代入公式求复数的模.
(2)在复平面内,两点间的距离是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.
【跟踪训练】
题19.若复数z满足|z|=2,则的取值范围是________.
【解析】由于复数z满足|z|=2,故复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,设圆上任意一点的坐标为表示圆上的点到(3,0)和(-3,0)两点距离之和,即,①式平方得,由于,
所以,所以,所以
,所以.
答案:
课堂检测·素养达标
题20.若z=1+i,则 ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选D.由z=1+i得,,所以.
题21.已知复数,则|z|= ( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选A.依题意,所以.
题22.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,
则该平行四边形的对角线AC的长度为 ( )
A. B.5 C. D.10
【解析】选B.依题意知,对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,
因此AC的长度为|-3-4i|=5.
题23.若复数满足y=2x,且,则复数z=________.
【解析】依题意可设复数z=a+2ai(a∈),由,得 ,解得a=±1,
故z=1+2i或z=-1-2i.
答案:1+2i或-1-2i
题24.已知z是复数,i是虚数单位,且,则|z|=________,复数在复平面内对应的点位于第________象限.
【解析】因为z=-2+ai,所以,所以,
所以解得,所以,所以,复数在复平面内对应的点为位于第二象限.
答案:二
编号：024 课题:§12.3 复数的几何意义
目标要求
1、理解并掌握复数的几何意义及复平面、复数的模等相关概念．
2、理解并掌握复数与复平面上点的对应关系．
3、理解并掌握复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义．
4、理解并掌握复数的模.
学科素养目标
复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.
重点难点
重点：复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义；
难点：复数的模．
教学过程
基础知识点
1.复平面
【思考】
有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?
2.复数的几何意义
(1)对应关系:
复数 ___复平面内的点Z(a,b)__.
复数平面向量.
因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用下图表示.
为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量,并且规定相等的向量表示同一个复数.
(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.
(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫作复数的模;
(2)记法:复数z=a+bi的模记作___________________;
(3)公式:.
4.复数加、减法的几何意义
(1)如图所示,
设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是,与对应的向量是;
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合);
(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】
的几何意义是什么?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.
B. 复数的模一定是正实数.
C. 复数的充要条件是.
D. 若复数，则它的模为1.
题2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i
题3.在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则等于 ( )
A. B. C. D.
关键能力·合作学习
类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
题4.复数 (i为虚数单位)其中,则复数z在复平面上所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
题5.复数和在复平面内的对应点关于 ( )
A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称
题6.已知复数,其中.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;(2)在第三象限.
【补偿训练】
题7.求当实数m为何值时,复数在复平面内的对应点分别满足下列条件:
(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象)
角度1 复数与向量的对应
【典例】题8.(1)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线
y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为 ( )
A.-2-i B.1+2i C.-2+i D.-1+2i
(2)在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,
所得向量对应的复数是 ( )
A. B. C. D.
角度2 复数加减运算的几何意义
【典例】题9.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,
试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)所表示的复数;
(3)所表示的复数及的长度.
【解题策略】
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【题组训练】
题10.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点
为B,则向量对应的复数为 ( )
A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i
题11.已知复数(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若,则x+y=__________.
类型三 复数的模(直观想象、数学运算)
角度1 复数模的计算
【典例】题12.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=______.
【变式探究】
题13.设复数,且,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
角度2 复数模的几何意义
【典例】题14.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
【解题策略】
复数几何意义的应用
表示复平面内对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】
题15.若,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
题16.若复数z满足 (i为虚数单位),
则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
题17.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
备选类型 复数的模及其几何意义的应用技巧(数学抽象、数学运算)
【典例】题18.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为________.
【解题策略】
(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为形式;步骤二:代入公式求复数的模.
(2)在复平面内,两点间的距离是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.
【跟踪训练】
题19.若复数z满足|z|=2,则的取值范围是________.
课堂检测·素养达标
题20.若z=1+i,则 ( )
A.0 B.1 C. D.2
题21.已知复数,则|z|= ( )
A. B.1 C. D.2
题22.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,
则该平行四边形的对角线AC的长度为 ( )
A. B.5 C. D.10
题23.若复数满足y=2x,且,则复数z=________.
题24.已知z是复数,i是虚数单位,且,则|z|=________,复数在复平面内对应的点位于第________象限.
编号：024 课题:§12.3 复数的几何意义
目标要求
1、理解并掌握复数的几何意义及复平面、复数的模等相关概念．
2、理解并掌握复数与复平面上点的对应关系．
3、理解并掌握复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义．
4、理解并掌握复数的模.
学科素养目标
复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.
重点难点
重点：复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义；
难点：复数的模．
教学过程
基础知识点
1.复平面
【思考】
有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?
提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
2.复数的几何意义
(1)对应关系:
复数 ___复平面内的点Z(a,b)__.
复数平面向量.
因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用下图表示.
为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量,并且规定相等的向量表示同一个复数.
(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.
(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫作复数的模;
(2)记法:复数z=a+bi的模记作___或___;
(3)公式:.
|z|或|a+bi|
4.复数加、减法的几何意义
(1)如图所示,
设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是,与对应的向量是;
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合);
(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】
的几何意义是什么?
提示:表示复数对应的两点与间的距离.
即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.
B. 复数的模一定是正实数.
C. 复数的充要条件是.
D. 若复数，则它的模为1.
【答案】选AD
提示:A√.根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2.
B×.复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数.
C×.如-1>-2,但|-1|<|-2|.
D√.因为，所以.
题2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i
【解析】选B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.
题3.在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.,所以.
关键能力·合作学习
类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
题4.复数 (i为虚数单位)其中,则复数z在复平面上所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为,所以且,
所以该复数所对应的点位于复平面上的第三象限.
题5.复数和在复平面内的对应点关于 ( )
A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称
【解析】选A.复数在复平面内的对应点为.复数在复平面内的对应点为.点与关于实轴对称.
题6.已知复数,其中.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;(2)在第三象限.
【解析】复数的实部为,虚部为,在复平面内对应的点为
.
(1)若z对应的点在实轴上,则有,解得.
(2)若z对应的点在第三象限,则有解得.
【解题策略】
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
【补偿训练】
题7.求当实数m为何值时,复数在复平面内的对应点分别满足下列条件:
(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
【解析】(1)由题意,知解得 即-7
因为m=-7不符合不等式①,m=4符合不等式①,所以m=4.
故当m=4时,复数z的对应点位于x轴的负半轴上.
类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象)
角度1 复数与向量的对应
【典例】题8.(1)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线
y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为 ( )
A.-2-i B.1+2i C.-2+i D.-1+2i
(2)在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,
所得向量对应的复数是 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】(1)根据向量的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B
的坐标,最后根据点B的坐标求出的坐标.
(2)根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的复数.
【解析】(1)选C.由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量表示的复数为-2+i.
(2)选B.复数对应的向量的坐标为,按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为,所得向量对应的复数为.
【解题策略】
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
角度2 复数加减运算的几何意义
【典例】题9.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,
试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)所表示的复数;
(3)所表示的复数及的长度.
【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出的坐标,然后转化为复数.
(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量的坐标.
【解析】(1),所以所表示的复数为-3-2i.
因为,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)因为,所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3),它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,，
注意书写的规范性:手写向量时必须加箭头,注意向量的相等与相反之间的关系.
【解题策略】
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【题组训练】
题10.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点
为B,则向量对应的复数为 ( )
A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i
【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量对应的复数为-1+2i.
题11.已知复数(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若,则x+y=__________.
【解析】由条件可知，若,
则(3,－2)=(－x+y,2x－y),所以解得x=1,y=4,所以x+y=5.
答案:5
类型三 复数的模(直观想象、数学运算)
角度1 复数模的计算
【典例】题12.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=______.
【思路导引】设代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b.
【解析】设,则,
代入方程得,所以解得
所以z=-15+8i.
答案:-15+8i
【变式探究】
题13.设复数,且,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】选B.因为
所以,即,所以,即-1
【典例】题14.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
【思路导引】根据绝对值的几何意义,求出点Z在复平面内对应的集合,再求出|z+i+1|的最小值.
【解析】选A.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为,因为|z+i|+|z-i|=2, ,所以点Z的集合为线段.
问题转化为动点Z在线段上移动,求的最小值,因为,
所以.
【解题策略】
复数几何意义的应用
表示复平面内对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】
题15.若,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选C.因为,所以.
题16.若复数z满足 (i为虚数单位),
则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限.
题17.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈),所以,
由已知得,所以,所以.
方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知:.
备选类型 复数的模及其几何意义的应用技巧(数学抽象、数学运算)
【典例】题18.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为________.
【思路导引】利用复数的几何意义求解.
【解析】由题意知,复数z对应点的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆,|z-i|表示圆上的动点与点(0,1)的距离,由数形结合易知,最大值为3.
答案:3
【解题策略】
(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为形式;步骤二:代入公式求复数的模.
(2)在复平面内,两点间的距离是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.
【跟踪训练】
题19.若复数z满足|z|=2,则的取值范围是________.
【解析】由于复数z满足|z|=2,故复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,设圆上任意一点的坐标为表示圆上的点到(3,0)和(-3,0)两点距离之和,即,①式平方得,由于,
所以,所以,所以
,所以.
答案:
课堂检测·素养达标
题20.若z=1+i,则 ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选D.由z=1+i得,,所以.
题21.已知复数,则|z|= ( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选A.依题意,所以.
题22.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,
则该平行四边形的对角线AC的长度为 ( )
A. B.5 C. D.10
【解析】选B.依题意知,对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,
因此AC的长度为|-3-4i|=5.
题23.若复数满足y=2x,且,则复数z=________.
【解析】依题意可设复数z=a+2ai(a∈),由,得 ,解得a=±1,
故z=1+2i或z=-1-2i.
答案:1+2i或-1-2i
题24.已知z是复数,i是虚数单位,且,则|z|=________,复数在复平面内对应的点位于第________象限.
【解析】因为z=-2+ai,所以,所以,
所以解得,所以,所以,复数在复平面内对应的点为位于第二象限.
答案:二
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