高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系优质课教学设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系优质课教学设计，共16页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，拓展延伸，拓展训练，思路导引，变式探究，补偿训练等内容，欢迎下载使用。

课题:§13.2.2.2 异面直线


目标要求
1、理解并掌握异面直线判定定理，异面直线所成的角或夹角．
2、理解并掌握异面直线的判断．
3、理解并掌握直线和直线垂直的证明方法．
4、理解并掌握异面直线所成的角.
学科素养目标
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想象能力这一教学目的．通过本章学习，要求学生熟悉立体几何中的空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，数形结合思想，等价转化思想，分情形讨论等，会进行平面图形到空间图形的过渡，灵活运用立体几何知识解决实际应用问题.
重点难点
重点：直线和直线垂直的证明方法；
难点：异面直线所成的角．
教学过程
基础知识点
1.异面直线判定定理
文字语言:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
符号语言:若l⊂,A∉,B∈,B∉l,则直线AB与l是异面直线.
图形语言:

【思考】
异面直线就是平面内的一条直线和平面外的一条直线,这种说法正确吗?

2.异面直线所成的角或夹角
定义:a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.
若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作a⊥b.
【思考】
(1)异面直线a,b所成的角或夹角的范围是多少?

(2)两条直线垂直,一定相交吗?

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 两条异面直线一定在两个不同的平面内.
B. 两条异面直线成120°角.
C. 异面直线所成的角的大小与空间任一点O的位置有关,即O点位置不同时,这一角的大小也不同.
D. 两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直.

题2.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b ( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

题3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为________.

关键能力·合作学习
类型一 异面直线的判断(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
题4.若两个平面相交,则分别在这两个平面内的两条直线 ( )
A.平行 B.异面 C.相交 D.以上皆有可能

题5.直线c,d与异面直线a,b都相交,则c,d的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.相交于一点或异面

题6.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________.


【解题策略】
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉,B∈,l⊂,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).

类型二 直线与直线垂直的证明(直观想象、逻辑推理)
【典例】题7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D.


【解题策略】
证明空间的两条直线垂直的方法
(1)定义法:利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直;
(2)平面几何图形性质法:利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
【拓展延伸】
垂直直线在立体几何中的重要性
垂直直线在空间几何中是非常重要的,在证明直线和平面垂直以及平面和平面垂直中都会用到.经常用到的证明线线垂直的常用方法有:
(1)利用勾股定理的逆定理;
(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线;
(3)利用线面垂直的定义;
(4)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.
【拓展训练】题8.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.


类型三 异面直线所成的角(直观想象、逻辑推理、数学运算)
角度1 求异面直线所成的角
【典例】题9.在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
【思路导引】想求EF与AB所成角的大小,需要找到EF与AB所成的角,并将其放到三角形中进行求解,关键是找异面直线的平行线,找到异面直线所成的角.

【变式探究】
题10. 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.

角度2 由异面直线所成角的大小求线段的长
【典例】题11.如图所示,在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2.求EF的长度.


【解题策略】
1.求两条异面直线所成的角的一般思路
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.利用两条异面直线所成的角求线段的长度,就是在异面直线所成角的三角形中求三角形的边长.
【题组训练】
题12.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.


题13.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.


题14.已知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BC和棱CC1的中点,求异面直线AC和EF所成的角.


【补偿训练】
题15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.


题16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)AC和DD1所成的角是________;
(2)AC和D1C1所成的角是________;
(3)AC和B1D1所成的角是________;
(4)AC和A1B所成的角是________.

题17.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.


课堂检测·素养达标
题18.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c ( )
A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交

题19.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直


题20.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.

题21.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为________.





























课题:§13.2.2.2 异面直线


目标要求
1、理解并掌握异面直线判定定理，异面直线所成的角或夹角．
2、理解并掌握异面直线的判断．
3、理解并掌握直线和直线垂直的证明方法．
4、理解并掌握异面直线所成的角.
学科素养目标
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想象能力这一教学目的．通过本章学习，要求学生熟悉立体几何中的空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，数形结合思想，等价转化思想，分情形讨论等，会进行平面图形到空间图形的过渡，灵活运用立体几何知识解决实际应用问题.
重点难点
重点：直线和直线垂直的证明方法；
难点：异面直线所成的角．
教学过程
基础知识点
1.异面直线判定定理
文字语言:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
符号语言:若l⊂,A∉,B∈,B∉l,则直线AB与l是异面直线.
图形语言:

【思考】
异面直线就是平面内的一条直线和平面外的一条直线,这种说法正确吗?
提示:平面内的一条直线和平面外的一条直线位置关系可能是相交、平行或异面,所以定理中的不过该点很重要.所以,这种说法是不正确的.
2.异面直线所成的角或夹角
定义:a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.
若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作a⊥b.
【思考】
(1)异面直线a,b所成的角或夹角的范围是多少?
提示:异面直线a,b所成的角或夹角的范围是.
(2)两条直线垂直,一定相交吗?
提示:不一定.当两条异面直线所成的角为90°时两条异面直线垂直,不相交.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 两条异面直线一定在两个不同的平面内.
B. 两条异面直线成120°角.
C. 异面直线所成的角的大小与空间任一点O的位置有关,即O点位置不同时,这一角的大小也不同.
D. 两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直.
【答案】选AD
提示:A√.由异面直线的概念可以判断，这种说法正确.
B×.异面直线所成的角范围是.
C×.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
D.√.当两条异面直线所成的角为90°时，两条直线垂直但不相交.相交时，不一定垂直.
故选AD.
题2.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b ( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
【解析】选C.假设c与b平行,由于c∥a,根据基本事实4可知a∥b ,与a,b是异面直线矛盾,故c与b不可能是平行直线.
题3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为________.
【解析】取AD的中点H,连FH,EH,在△EFH中∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°.

答案:30°
关键能力·合作学习
类型一 异面直线的判断(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
题4.若两个平面相交,则分别在这两个平面内的两条直线 ( )
A.平行 B.异面 C.相交 D.以上皆有可能
【解析】选D.平面,β相交,如图所示:

则a⊂,b⊂β,a∥b;又a⊂,c⊂β,a、c异面;c⊂β,d⊂,c,d相交;所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行,也可能异面,也可能相交.
题5.直线c,d与异面直线a,b都相交,则c,d的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.相交于一点或异面
【解析】选D.已知直线a与b是异面直线,设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A,B,C,D,

当点B与点C重合时直线c与d相交,当点B与点D不重合时直线c与d异面.
题6.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________.

【解析】①中PQ∥RS,②中RS∥PQ,④中RS和PQ相交.
答案:③
【解题策略】
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉,B∈,l⊂,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).

类型二 直线与直线垂直的证明(直观想象、逻辑推理)
【典例】题7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D.

【思路导引】将AC与B1D所成的角转化成两相交直线成的角.
【证明】如图,连接BD,交AC于O,
设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1,
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE,CE,易证AE=CE,
又O是AC的中点,所以AC⊥OE,所以AC⊥B1D.

【解题策略】
证明空间的两条直线垂直的方法
(1)定义法:利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直;
(2)平面几何图形性质法:利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
【拓展延伸】
垂直直线在立体几何中的重要性
垂直直线在空间几何中是非常重要的,在证明直线和平面垂直以及平面和平面垂直中都会用到.经常用到的证明线线垂直的常用方法有:
(1)利用勾股定理的逆定理;
(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线;
(3)利用线面垂直的定义;
(4)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.
【拓展训练】题8.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.

【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG,

因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,
所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又因为A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,
所以∠D1GD=90°,所以CD1⊥EF.
类型三 异面直线所成的角(直观想象、逻辑推理、数学运算)
角度1 求异面直线所成的角
【典例】题9.在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
【思路导引】想求EF与AB所成角的大小,需要找到EF与AB所成的角,并将其放到三角形中进行求解,关键是找异面直线的平行线,找到异面直线所成的角.
【解析】如图所示,取AC的中点G,

连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,GF∥CD且GF=CD.
由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.因为AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
【变式探究】
题10. 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
【解析】如图所示,取AC的中点G,

连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,
GF∥CD且GF=CD.
由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD
所成的角.因为AB⊥CD,所以∠EGF=90°,
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,∠GEF=45°,
故EF与AB所成角的大小为45°.
角度2 由异面直线所成角的大小求线段的长
【典例】题11.如图所示,在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2.求EF的长度.

【思路导引】求EF的长度,只需要将EF放到一个三角形中进行求解就可以了,构造三角形,并且要用到异面直线BD,AC所成的角.
【解析】取BC的中点M,连接ME,MF,则ME∥AC,MF∥BD,

所以ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,
所以∠EMF=60°或∠EMF=120°.当∠EMF=60°时,EF=ME=MF=BD=1;
当∠EMF=120°时,取EF的中点N,则MN⊥EF,所以
EF=2EN=2EM·sin∠EMN=2×1×.
故EF的长度为1或.
【解题策略】
1.求两条异面直线所成的角的一般思路
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.利用两条异面直线所成的角求线段的长度,就是在异面直线所成角的三角形中求三角形的边长.
【题组训练】
题12.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.

【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,

则BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,所以∠MPN=90°,
PN=AC=4,PM=BD=3,所以MN=5.
答案:5
题13.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.

【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD.
因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角.

因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,
所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
答案:
题14.已知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BC和棱CC1的中点,求异面直线AC和EF所成的角.

【解析】连接BC1,A1C1,A1B,如图所示:

根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).因为BC1=A1C1=A1B,所以△A1C1B为等边三角形,故∠A1C1B=60°,即异面直线AC和EF所成的角为60°.
【补偿训练】
题15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.

【解析】(1)连接AC,AB1.

由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,
所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1,即A1C1与EF所成的角为90°.
题16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)AC和DD1所成的角是________;
(2)AC和D1C1所成的角是________;
(3)AC和B1D1所成的角是________;
(4)AC和A1B所成的角是________.
【解题指南】在正方体中找异面直线所成的角,在找平行线时要首先考虑正方体的棱和面对角线,还要注意正方体的结构特征.
【解析】(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)因为D1C1∥DC,所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角,由正方体的性质得∠ACD=45°.
(3)因为BD∥B1D1,BD⊥AC,所以B1D1⊥AC,即AC和B1D1所成的角是90°.(4)因为A1B∥D1C,△ACD1是等边三角形,所以AC和A1B所成的角是60°.
答案:(1)90° (2)45° (3)90° (4)60°
题17.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.

【解析】取A1B1中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,所以EF与GH所成的角等于60°.

答案:60°
课堂检测·素养达标
题18.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c ( )
A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交
【解析】选B.因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c.
题19.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直

【解析】选D.因为正方体的对面平行,且直线A1C1与BD不平行,所以直线BD与A1C1异面,连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD,所以直线BD与A1C1垂直,所以直线BD与A1C1异面且垂直.
题20.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1B1∥DB,所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角,因为AB=BC=1,AA1=,所以DB=,BC1=2,DC1=2,由余弦定理得
.
所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为.
题21.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为________.
【解析】因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.
答案:60°