苏教版 (2019)必修 第二册12.1 复数的概念精品教学设计及反思

编号：021     课题:§12.1  复数的概念

目标要求

1、理解并掌握复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．

2、理解并掌握复数的概念．

3、理解并掌握复数的分类．

4、理解并掌握复数相等及其应用.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：复数的概念、复数的分类和复数相等；

难点：复数相等及其应用．

教学过程

基础知识点

1.复数的概念

(1)复数的定义

形如的数叫作复数,其中i叫作____________,满足;复数通常用字母z表示,即,其中a与b分别叫作复数z的_______与__________.

(2)本质:虚数单位i与实数a,b运算得到的一类数,实数基础上的提升.

(3)应用:解决实系数方程的求解问题.

【思考】

如何理解虚数单位i?

2.复数的分类

(1)复数

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.

3.复数相等的充要条件

在复数集中任取两个数,我们规

定:a+bi与c+di相等当且仅当________且__________.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. 若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.

B. 复数,则.

C. 复数z=bi是纯虚数.

D. 实数集与复数集的交集是实数集.

题2.复数i-2的虚部是    (     )

A.i             B.-2             C.1             D.2

题3.如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为       (      )

A.x=1,y=-1     B.x=0,y=-1          C.x=1,y=0     D.x=0,y=0

关键能力·合作学习

类型一 复数的概念(数学抽象)

【题组训练】

题4.复数z=3-2i的虚部为       (      )

A.2          B.-2          C.-2i          D.2i

题5.以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是    (      )

A.          B.             C.     D.

题6.给出下列几个命题:

①若,则;②2i-1的虚部是2i;

③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集的元素一一对应;

⑤实数集的补集是虚数集.

其中真命题的个数为     (     )

A.0                B.1                C.2                D.3

【解题策略】

利用复数的概念时的注意点

(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.

(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.

【补偿训练】

题7.已知命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”.当时,该命题成立.当时,该结论是否成立?

类型二 复数的分类(数学抽象、逻辑推理)

【典例】题8.实数x分别取什么值时,复数是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

【解题策略】

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式时应先转化形式.

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数,则①若z为实数⇔b=0,②若z为虚数⇔b≠0,③ 若z为纯虚数⇔a=0,b≠0,④ 若z=0⇔a=0,且b=0.

【跟踪训练】

题9.实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是①实数;②虚数;③纯虚数;

④零.

类型三 复数相等及应用(逻辑推理、数学运算)  

 角度1 复数的相等

【典例】题10.若(x+y)+yi=(x+1)i(为虚数单位),求实数x,y的值.

【变式探究】

题11.若 (1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0(为虚数单位),求实数m的取值范围.

角度2 复数相等的应用

【典例】题12.关于x的方程有实数根,求实数a的值和这个实数根.

【解题策略】

两个复数相等的判断

如果两个复数与相等,则它们的实部与虚部对应相等,即a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地,a+bi=0⇔a=b=0.利用复数的代数形式和复数相等,可以化“虚”为“实”,实现化归和转化,从而利用列方程(组)的方法解决复数问题.

【题组训练】

题13.若1+xi=y+2i,x,y∈,则复数x+yi=       (      )

A.-2+i         B.2+i             C.1-2i         D.1+2i

题14.为实数,若,则m的值为 (     )

A.4          B.-1          C.6              D.0

题15.若复数与复数相等,则实数a的值为       (     )

A.1          B.1或-4            C.-4          D.0或-4

课堂检测·素养达标

题16.已知a∈,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=      (     )

A.1             B.-1             C.2             D.-2

题17.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是 (    )

A.       B.            C.      D.

题18.如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x=________,y=________.

题19.已知,若x∈,则x=________;若x∈,则x=________.

题20.实数x取什么值时,复数是

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

编号：021     课题:§12.1  复数的概念

目标要求

1、理解并掌握复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．

2、理解并掌握复数的概念．

3、理解并掌握复数的分类．

4、理解并掌握复数相等及其应用.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：复数的概念、复数的分类和复数相等；

难点：复数相等及其应用．

教学过程

基础知识点

1.复数的概念

(1)复数的定义

形如的数叫作复数,其中i叫作___虚数单位__,满足;复数通常用字母z表示,即,其中a与b分别叫作复数z的_实部_与__虚部__.

(2)本质:虚数单位i与实数a,b运算得到的一类数,实数基础上的提升.

(3)应用:解决实系数方程的求解问题.

【思考】

如何理解虚数单位i?

提示:(1).

(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.

(3)由于与实数集中矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.

2.复数的分类

(1)复数

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.

3.复数相等的充要条件

在复数集中任取两个数,我们规

定:a+bi与c+di相等当且仅当__ a=c __且__ b=d __.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. 若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.

B. 复数,则.

C. 复数z=bi是纯虚数.

D. 实数集与复数集的交集是实数集.

【答案】选ABC

提示:A×.当b=0时,z=a+bi为实数.

B×.两个虚数不能比较大小,只能比较是否相等.

C×.当b=0时,z=bi为实数.

D√.实数集是复数集的子集,所以实数集与复数集的交集是实数集.

题2.复数i-2的虚部是    (     )

A.i             B.-2             C.1             D.2

【解析】选C.i-2=-2+i,因此虚部是1.

题3.如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为       (      )

A.x=1,y=-1     B.x=0,y=-1          C.x=1,y=0     D.x=0,y=0

【解析】选A.因为(x+y)i=x-1,所以所以x=1,y=-1.

关键能力·合作学习

类型一 复数的概念(数学抽象)

【题组训练】

题4.复数z=3-2i的虚部为       (      )

A.2          B.-2          C.-2i          D.2i

【解析】选B.因为z=3-2i,所以其虚部为-2.

题5.以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是    (      )

A.          B.             C.     D.

【解析】选A.的虚部为3, 的实部为-3,所以所求复数为3-3i.

题6.给出下列几个命题:

①若,则;②2i-1的虚部是2i;

③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集的元素一一对应;

⑤实数集的补集是虚数集.

其中真命题的个数为     (     )

A.0                B.1                C.2                D.3

【解析】选C.令,则,故①不正确.2i-1的虚部应是2,故②不正确.

当a=0时,ai=0为实数,故④不正确,所以只有③,⑤正确.

【解题策略】

利用复数的概念时的注意点

(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.

(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.

【补偿训练】

题7.已知命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”.当时,该命题成立.当时,该结论是否成立?

【解析】当时,若x=1,y=i,x2+y2=0成立,所以此命题在复数范围内是假命题,该结论不成立.

类型二 复数的分类(数学抽象、逻辑推理)

【典例】题8.实数x分别取什么值时,复数是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

【解题策略】

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式时应先转化形式.

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数,则①若z为实数⇔b=0,②若z为虚数⇔b≠0,③ 若z为纯虚数⇔a=0,b≠0,④ 若z=0⇔a=0,且b=0.

【跟踪训练】

题9.实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是①实数;②虚数;③纯虚数;

④零.

【解析】①当k2-5k-6=0,k∈R,即k=6或k=-1时,z是实数.

②当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时, z是虚数.

③当时,z是纯虚数,解得k=4.

④当时,z =0,解得k=-1.

类型三 复数相等及应用(逻辑推理、数学运算)  

 角度1 复数的相等

【典例】题10.若(x+y)+yi=(x+1)i(为虚数单位),求实数x,y的值.

【思路导引】复数相等,则复数的实部与实部相等,虚部与虚部相等.

【解析】因为(x+y)+yi=(x+1)i,所以解得

【变式探究】

题11.若 (1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0(为虚数单位),求实数m的取值范围.

【解析】把原式整理得(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,

所以解得m=-2.

角度2 复数相等的应用

【典例】题12.关于x的方程有实数根,求实数a的值和这个实数根.

【思路导引】设实数根为m,代入方程,根据复数相等可构造方程组求得a和m,从

而得到结果.

【解析】设方程的实数根为x=m,则,

根据复数相等的充要条件得:

解得或

所以当实数a=11时实数根为2;当实数时实数根为.

【解题策略】

两个复数相等的判断

如果两个复数与相等,则它们的实部与虚部对应相等,即a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地,a+bi=0⇔a=b=0.利用复数的代数形式和复数相等,可以化“虚”为“实”,实现化归和转化,从而利用列方程(组)的方法解决复数问题.

【题组训练】

题13.若1+xi=y+2i,x,y∈,则复数x+yi=       (      )

A.-2+i         B.2+i             C.1-2i         D.1+2i

【解析】选B.因为1+xi=y+2i,所以y=1,x=2,所以x+yi=2+i.

题14.为实数,若,则m的值为 (     )

A.4          B.-1          C.6              D.0

【解析】选B.由题意得,则解得m=-1.

题15.若复数与复数相等,则实数a的值为       (     )

A.1          B.1或-4            C.-4          D.0或-4

【解析】选C.由复数相等的条件得解得a=-4.

课堂检测·素养达标

题16.已知a∈,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=      (     )

A.1             B.-1             C.2             D.-2

【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.

题17.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是 (    )

A.       B.            C.      D.

【解析】选C.由题意得得.

题18.如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x=________,y=________.

【解析】由复数相等可知所以

答案:

题19.已知,若x∈,则x=________;若x∈,则x=________.

【解析】当x∈时,由复数相等的充要条件得 解得x=2;当x∈时,

令,则有 解得或

所以x=2或x=3-i.

答案:2         3-i或2

题20.实数x取什么值时,复数是

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

【解析】(1)当,即x=-3或x=5时,复数z为实数;

(2)当,即x≠-3且x≠5时,复数z为虚数;

(3)当且,即x=2时,复数z是纯虚数.