数学必修 第二册10.3 几个三角恒等式优质教学设计及反思

编号：015     课题:§10.3  几个三角恒等式

目标要求

1、理解并掌握半角公式以及积化和差、和差化积公式．

2、理解并掌握求值问题．

3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题．

4、理解并掌握积化和差、和差化积公式的应用问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：三角函数式的化简、证明问题；

难点：积化和差、和差化积公式的应用问题．

教学过程

基础知识点

1.半角公式

(1)公式:

(2)本质:

①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.

②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道的值及相应 的条件,便可求出.

(3)应用:①求值;②化简;③证明.

【思考】

(1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?

(2)半角公式对都成立吗?为什么?

2.积化和差、和差化积公式

(1)积化和差公式

.

(2)和差化积公式

.

【思考】

(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?

(2)和差化积公式是如何推导出来的?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A..

B. 对于任意,都不成立.

C. 若是第一象限角,则.

D. .

题2.若,则的值为    (     )

 A.             B.            C.             D.

题3.的值为     (    )

  A.            B.               C.                D.

题4.设,则等于________.

关键能力·合作学习

类型一 求值问题(数学运算)

【题组训练】

题5.设,那么等于    (    )

 A.         B.         C.         D.

题6.已知,则   (     )

A.3             B.-3             C.             D.

题7.已知,且为第一象限角,则的值为    (    )

A.         B.         C.         D.

【解题策略】

利用半角公式求值的思路

(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.

(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.

(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计

算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算.

(4)下结论:结合(2)求值.

【补偿训练】

题8.已知,求及的值.

类型二 三角函数式的化简(数学运算)

【典例】题9.化简: .

【解题策略】 化简问题中的“三变”

(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.

(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.

(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.

【跟踪训练】

题10.化简: .

题11.已知,试化简:.    

【补偿训练】

题12.若,则等于      (     )

A.     B.      C.     D.

类型三 恒等式的证明(逻辑推理)

 角度1 绝对恒等式的证明

【典例】题13.求证:.

【变式探究】

题14.求证:.

角度2 条件恒等式的证明

【典例】题15.已知,且.

求证:.

【解题策略】

(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.

(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.

①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.

②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.

【题组训练】

题16.求证:.

题17.已知,求证:.

类型四 积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理)

【典例】题18.已知,求的值.

【解题策略】

1.积化和差公式的功能与关键

(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).

②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.

(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.

2.和差化积公式应用时的注意事项

(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.

(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:

①运用公式之后,能否出现特殊角;

②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.

【跟踪训练】

题19.求的值.

课堂检测·素养达标

题20.已知,则等于    (    )

   A.          B.            C.              D.

题21.已知,则的值为     (     )

  A.            B.             C.              D.

题22.的值为   (    )

 A.              B.               C.              D.

题23.函数的最小正周期为________.

题24.求证:.

编号：015     课题:§10.3  几个三角恒等式

目标要求

1、理解并掌握半角公式以及积化和差、和差化积公式．

2、理解并掌握求值问题．

3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题．

4、理解并掌握积化和差、和差化积公式的应用问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：三角函数式的化简、证明问题；

难点：积化和差、和差化积公式的应用问题．

教学过程

基础知识点

1.半角公式

(1)公式:

(2)本质:

①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.

②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道的值及相应 的条件,便可求出.

(3)应用:①求值;②化简;③证明.

【思考】

(1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?

提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.

(2)半角公式对都成立吗?为什么?

提示:公式对都成立,但公式要求.

2.积化和差、和差化积公式

(1)积化和差公式

.

(2)和差化积公式

.

【思考】

(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?

提示:两角和与差的正弦、余弦公式.

(2)和差化积公式是如何推导出来的?

提示:如果令,则,从而可以由积化和差公

式得到和差化积公式.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A..

B. 对于任意,都不成立.

C. 若是第一象限角,则.

D. .

【答案】选CD

提示:A×.只有当,

即时，.

B×.当时,上式成立,但一般情况下不成立.

C√.若是第一象限角,则是第一、三象限角,此时成立.

D√.积化和差公式.

题2.若,则的值为    (     )

 A.             B.            C.             D.

【解析】选C.由题意知,所以.

题3.的值为     (    )

  A.            B.               C.                D.

【解析】选B.

.

题4.设,则等于________.

【解析】.

因为,所以,所以,故原式.

答案:  

关键能力·合作学习

类型一 求值问题(数学运算)

【题组训练】

题5.设,那么等于    (    )

 A.         B.         C.         D.

【解析】选D.若,

则，则.

题6.已知,则   (     )

A.3             B.-3             C.             D.

【解析】选D.因为,且,

所以.

题7.已知,且为第一象限角,则的值为    (    )

A.         B.         C.         D.

【解析】选C.因为,所以.又,

所以或

因为α为第一象限角,所以   为第一、三象限角,且  

所以.

【解题策略】

利用半角公式求值的思路

(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.

(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.

(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计

算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算.

(4)下结论:结合(2)求值.

【补偿训练】

题8.已知,求及的值.

【解析】，所以，所以，

所以，解得或.

因为,所以,所以,所以.

综上可知.

类型二 三角函数式的化简(数学运算)

【典例】题9.化简: .

【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.

【解析】原式

又因为180°< <360°,所以90°<<180°,

所以,所以原式.

【解题策略】 化简问题中的“三变”

(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.

(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.

(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.

【跟踪训练】

题10.化简: .

【解析】原式，

因为,所以.所以，

所以原式

.

题11.已知,试化简:.    

【解析】因为,所以，

所以，  

从而.

所以原式

.

【补偿训练】

题12.若,则等于      (     )

A.     B.      C.     D.

【解析】选B.因为,所以，

.

类型三 恒等式的证明(逻辑推理)

 角度1 绝对恒等式的证明

【典例】题13.求证:.

【思路导引】左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等.

【证明】因为左边

右边.所以原始成立.

【变式探究】

题14.求证:.

【证明】因为左边右边,

所以原式成立.

角度2 条件恒等式的证明

【典例】题15.已知,且.

求证:.

【思路导引】结合已知条件,求的某个三角函数值,进而求出角的大小.

【证明】因为,即，

所以，

所以，所以.

又因为，所以，所以.因为，所以.

【解题策略】

(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.

(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.

①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.

②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.

【题组训练】

题16.求证:.

【证明】左边

右边.所以原等式成立.

题17.已知,求证:.

【证明】由得

 ，

即，

即(1-m)sin(α+β)cos α=(1+m)cos(α+β)sin α.两边同除以(1-m)cos(α+β)cos α,

得,即原等式成立.

类型四 积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理)

【典例】题18.已知,求的值.

【思路导引】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.

【解析】因为,所以     ①

又因为,所以         ②

因为,所以由①②,得,即.

所以.

【解题策略】

1.积化和差公式的功能与关键

(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).

②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.

(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.

2.和差化积公式应用时的注意事项

(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.

(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:

①运用公式之后,能否出现特殊角;

②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.

【跟踪训练】

题19.求的值.

【解析】原式

.

课堂检测·素养达标

题20.已知,则等于    (    )

   A.          B.            C.              D.

【解析】选A.由题知,所以.

题21.已知,则的值为     (     )

  A.            B.             C.              D.

【解析】选C.因为,

所以.

题22.的值为   (    )

  A.              B.               C.              D.

【解析】选C.原式

题23.函数的最小正周期为________.

【解析】因为，

所以函数的最小正周期.

答案:

题24.求证:.

【证明】原式可变形为,①,

①式右边

左边.

所以①式成立,即原式得证.