浙教版（2024）八年级上册2.6 直角三角形导学案

这是一份浙教版（2024）八年级上册2.6 直角三角形导学案，共11页。


课题
直角三角形（1）
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.理解直角三角形的概念；
2.掌握直角三角形的性质，并能运用．
重点
两个锐角互余的三角形是直角三角形的判定定理的探究
难点
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的推导过程.
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
直角三角形：
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形
你能从图中找出多少个直角三角形？
5个直角三角形
观察回答问题
从学生熟悉的事物引入本课知识
讲授新课
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：“Rt△”
如图的三角形可以记为Rt△ABC
你能举出生活中的直角三角形吗？
已知：在△ABC中，∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=___90°
听课思考
讲解直角三角形的表示和一个性质定理
思考探究
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高.
（1）图中有几个直角三角形？
Rt△ABC,Rt△ACD,Rt△BCD
（2）图中有几对互余的角？
∠A与∠B,∠A与∠1,∠B与∠2,∠1与∠2
（3）图中有几对相等的角？
∠1=∠B,∠2=∠A
思考
培养学生的自主探究能力
即时演练
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数.
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°×=54°；
90°×=36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
做练习
及时练习，巩固概念
做一做
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD
证明：∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等),
∴AD=CD.
从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质？
斜边上的中线等于斜边的一半
做练习
通过做一做来让学生得出直角三角形斜边上的中线的性质
讲授新知
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.
它有什么性质呢？
（1）具有等腰三角形的所有性质
（2）具有直角三角形的所有性质
等腰直角三角形的两个锐角都是45°
听课
讲解等腰直角三角形的性质定理
即时演练
已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=______．
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠C=90°，AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°．
故答案为：15°．
做练习
及时练习，巩固所学
讲解新知
直角三角形还有以下性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数学语言表述为：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD=AD=BD=AB
听课
讲解直角三角形的性质定理
例题讲解
例1 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B.已知AB=200m,问这名滑雪运动员的高度下降了多少米?
解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则CD=AD=AB=×200=100（m）
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
）
∵∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=60°（直角三角形的两个锐角互余）
∴△ADC是等边三角形（为什么？）
∴AC=AD=100（m）
答：这名滑雪运动员的高度下降了100m
听课思考
讲解例题，明白题型
讲授新知
从例1的结果，你能得到什么结论？
直角三角形性质定理：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
即在Rt△ABC中，如果
∠ACB＝90°
∠A＝ 30 °
那么BC＝
听课
讲解直角三角形的性质
即时演练
右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝ 30 °,立柱BC.DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝ 30 °
由上述定理可得：
BC=AB，DE=AD，
∴BC=×7.4=3.7(m)
又AD=AB=BC
∴DE=AD=×3.7=1.85(m).
答：立柱BC.DE分别要3.7m、1.85m.
练习
及时做练习巩固所学
达标测评
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=×AB=5，故选C．
2.如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数．
解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，
∴∠CBE=∠EPD﹣∠ADB=125°﹣90°=35°，
∵BE是一条角平分线，
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°﹣∠ABD=90°﹣70°=20°．
故答案为：20 °．
3.如图，方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有10个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）
A．16个B．20个C．24个D．28个
解：图3中，每一个小正方形可以有4个等腰直角三角形，共有4×4=16个，
两个小正方形组合的矩形可以有2×4=8个等腰直角三角形，
四个小正方形可以组合成一个大正方形，可以有4个等腰直角三角形，
所以，等腰三角形共有16+8+4=28．
故选D．
4.如图，直角三角形ABC中，O是BC中点且BD⊥CD，试说明AO与OD的关系．
解：AO=DO，
理由是：∵∠BAC=90°，O为BC中点，
∴AO=BC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵O为BC中点，
∴DO=BC，
∴AO=DO
5.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形.
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.
（1）连结AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°D为BC的中点
∴AD⊥BC，BD=AD，
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90° ∴△DEF为等腰直角三角形
（2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示，连结AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠DAC=∠ABD=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°
∴△DEF仍为等腰直角三角形
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
拓展提升
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
解：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°-60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2•2x=4x，
∴EB=AB-EA=4x-x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
思考
拓展学生思维
课堂小结
这节课我们学习了：
直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角互余
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
4.等腰直角三角形的两个锐角都是45°
回忆总结
带领学生回忆本课所学