还剩15页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形习题
展开
这是一份初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形习题，共18页。
“HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
Rt△是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法对于直角三角形全部适用，
故两直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
【类题训练】
1．如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，添加一个条件____，即可证明Rt△ABE≌Rt△DCF．下列添加的条件不正确的是（ ）
A．AB＝DCB．AE＝BFC．EA＝FDD．∠A＝∠D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
∴BE＝CF，
A、∵AB＝DC，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故A不符合题意；
B、∵AE＝BF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE和Rt△DCF不一定全等，
故B符合题意；
C、∵EA＝DF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（SAS），
故C不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（AAS），
故D不符合题意；
故选：B．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；
D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；
故选：D．
3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（ ）
①∠B＝∠C
②AB∥CD
③BE＝CF
④AF＝DE
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④可得AE＝DF，可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故选：D．
4．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故选：C．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL可筛选出答案．
【解答】解：A、∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，AC＝2，
此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；
B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；
C、∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝2，是30°角所对的直角边，而此选项中是60°角所对的直角边是2，不能判定三角形全等，故此选项错误；
D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误．
故选：A．
6．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立．
【解答】解：连接AP，
∵PR＝PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS＝AR，①正确．
∵AQ＝PQ
∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA
∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
7．如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（ ）
A．SSSB．ASAC．SSAD．HL
【分析】根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．
【解答】解：∵OD⊥AB且OP⊥AC，
∴△ADO和△OPO是直角三角形，
又∵OD＝OP且AO＝AO
∴△AOD≌△AOP（HL）．
故选：D．
8．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．无法确定
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．
9．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA＝∠ADC＝90°．
∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
在△BDF和△ADC中，，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
故选：B．
10．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于点E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP＝PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴三角形PBC的面积＝三角形ABC的面积＝cm2，
选项中只有B的长方形面积为cm2，
故选：B．
11．如图，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米，点G在线段AB上．则△CDE的面积是 平方厘米．
【分析】过E作EH⊥CD于H，根据正方形性质求出DE＝DG，∠H＝∠A，求出∠HDE＝∠GAD，推出△DAG≌△DHE，推出HE＝AG，根据勾股定理求出AG，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：
过E作EH⊥CD于H，
∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米
∴DG＝DE＝（厘米），AD＝CD＝＝3（厘米），∠A＝∠DHE＝∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠HDE＝∠GDA＝90°﹣∠ADE，
在Rt△DAG中，∠A＝90°，DG＝厘米，AD＝3厘米，由勾股定理得：AG＝2厘米，
在△DAG和△DHE中
∴△DAG≌△DHE（AAS），
∴HE＝AG＝2厘米，
∴△CDE的面积是CD×EH＝×3×2＝3（平方厘米），
故答案为：3．
12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等．
【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
13．如图所示，∠C＝∠D＝90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是 ．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC＝BD．
【解答】解：条件是AC＝AD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD．
14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．
【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 对．
【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵AC＝AB，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ADB（AAS）；
∴CE＝BD，
∵AC＝AB，
∴∠CBE＝∠BCD，
∵∠BEC＝∠CDB＝90°，
∴△BCE≌△CBD（AAS）；
∴BE＝CD，
∴AD＝AE，
∵AO＝AO，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；
∵∠DOC＝∠EOB，
∴△COD≌△BOE（AAS）；
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴CF＝BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），
综上所述，共有6对全等的直角三角形．
故答案是：6．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12，即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∵
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．
∴BD＝6cm．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC，BE＝AF．
∴EF＝EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．
∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．
18．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF．
（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系；
（3）当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无需说明理由）
【分析】（1）证△BOE≌△COF，可得∠B＝∠C，通过等角对等边，得出AB＝AC；
（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE＝∠OCF，OB＝OC；则∠OBC＝∠OCB，可证得∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得出AB＝AC；
（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB＝AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．
【解答】（1）证明：∵OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）解：AB＝AC．
证明：同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；
∴∠OBE＝∠OCF；
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB；
∴∠ABC＝∠ACB；
∴AB＝AC．
（3）解：①当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC成立；
②当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝CD；
（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结论；
（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰三角形．
【解答】（1）证明：
∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，
∴∠CBF＝90°，
又AC＝BC，
∴∠DBA＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，
∴∠BDE＝∠BFE＝45°，
∴BD＝BF，
又D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝BF；
（2）证明：
由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠BCF+∠CDA＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴AD⊥CF；
（3）解：连接AF．
由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF为等腰三角形．
“HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
Rt△是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法对于直角三角形全部适用，
故两直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
【类题训练】
1．如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，添加一个条件____，即可证明Rt△ABE≌Rt△DCF．下列添加的条件不正确的是（ ）
A．AB＝DCB．AE＝BFC．EA＝FDD．∠A＝∠D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
∴BE＝CF，
A、∵AB＝DC，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故A不符合题意；
B、∵AE＝BF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE和Rt△DCF不一定全等，
故B符合题意；
C、∵EA＝DF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（SAS），
故C不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（AAS），
故D不符合题意；
故选：B．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；
D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；
故选：D．
3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（ ）
①∠B＝∠C
②AB∥CD
③BE＝CF
④AF＝DE
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④可得AE＝DF，可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故选：D．
4．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故选：C．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL可筛选出答案．
【解答】解：A、∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，AC＝2，
此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；
B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；
C、∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝2，是30°角所对的直角边，而此选项中是60°角所对的直角边是2，不能判定三角形全等，故此选项错误；
D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误．
故选：A．
6．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立．
【解答】解：连接AP，
∵PR＝PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS＝AR，①正确．
∵AQ＝PQ
∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA
∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
7．如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（ ）
A．SSSB．ASAC．SSAD．HL
【分析】根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．
【解答】解：∵OD⊥AB且OP⊥AC，
∴△ADO和△OPO是直角三角形，
又∵OD＝OP且AO＝AO
∴△AOD≌△AOP（HL）．
故选：D．
8．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．无法确定
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．
9．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA＝∠ADC＝90°．
∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
在△BDF和△ADC中，，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
故选：B．
10．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于点E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP＝PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴三角形PBC的面积＝三角形ABC的面积＝cm2，
选项中只有B的长方形面积为cm2，
故选：B．
11．如图，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米，点G在线段AB上．则△CDE的面积是 平方厘米．
【分析】过E作EH⊥CD于H，根据正方形性质求出DE＝DG，∠H＝∠A，求出∠HDE＝∠GAD，推出△DAG≌△DHE，推出HE＝AG，根据勾股定理求出AG，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：
过E作EH⊥CD于H，
∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米
∴DG＝DE＝（厘米），AD＝CD＝＝3（厘米），∠A＝∠DHE＝∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠HDE＝∠GDA＝90°﹣∠ADE，
在Rt△DAG中，∠A＝90°，DG＝厘米，AD＝3厘米，由勾股定理得：AG＝2厘米，
在△DAG和△DHE中
∴△DAG≌△DHE（AAS），
∴HE＝AG＝2厘米，
∴△CDE的面积是CD×EH＝×3×2＝3（平方厘米），
故答案为：3．
12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等．
【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
13．如图所示，∠C＝∠D＝90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是 ．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC＝BD．
【解答】解：条件是AC＝AD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD．
14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．
【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 对．
【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵AC＝AB，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ADB（AAS）；
∴CE＝BD，
∵AC＝AB，
∴∠CBE＝∠BCD，
∵∠BEC＝∠CDB＝90°，
∴△BCE≌△CBD（AAS）；
∴BE＝CD，
∴AD＝AE，
∵AO＝AO，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；
∵∠DOC＝∠EOB，
∴△COD≌△BOE（AAS）；
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴CF＝BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），
综上所述，共有6对全等的直角三角形．
故答案是：6．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12，即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∵
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．
∴BD＝6cm．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC，BE＝AF．
∴EF＝EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．
∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．
18．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF．
（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系；
（3）当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无需说明理由）
【分析】（1）证△BOE≌△COF，可得∠B＝∠C，通过等角对等边，得出AB＝AC；
（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE＝∠OCF，OB＝OC；则∠OBC＝∠OCB，可证得∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得出AB＝AC；
（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB＝AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．
【解答】（1）证明：∵OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）解：AB＝AC．
证明：同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；
∴∠OBE＝∠OCF；
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB；
∴∠ABC＝∠ACB；
∴AB＝AC．
（3）解：①当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC成立；
②当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝CD；
（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结论；
（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰三角形．
【解答】（1）证明：
∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，
∴∠CBF＝90°，
又AC＝BC，
∴∠DBA＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，
∴∠BDE＝∠BFE＝45°，
∴BD＝BF，
又D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝BF；
（2）证明：
由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠BCF+∠CDA＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴AD⊥CF；
（3）解：连接AF．
由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF为等腰三角形．
相关试卷
初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定精练： 这是一份初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定精练，共11页。试卷主要包含了8 直角三角形全等的判定等内容，欢迎下载使用。
【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第11讲 直角三角形全等的判定： 这是一份【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第11讲 直角三角形全等的判定，文件包含第11讲直角三角形全等的判定原卷版docx、第11讲直角三角形全等的判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第11讲 圆中的线段计算专题： 这是一份【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第11讲 圆中的线段计算专题，文件包含重难点讲义浙教版数学九年级上册-第11讲圆中的线段计算专题原卷版docx、重难点讲义浙教版数学九年级上册-第11讲圆中的线段计算专题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
