数学2.6 直角三角形优秀教案

这是一份数学2.6 直角三角形优秀教案，共24页。教案主要包含了直角三角形的判定，直角三角形的性质--两锐角互余等内容，欢迎下载使用。

直角三角形的概念及性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
题型梳理
题型一 直角三角形的判定（一个角为90°）
1．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝2∠B＝3∠C；
④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A+∠BB．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
题型二 直角三角形的性质--两锐角互余
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
2．如图示在△ABC中∠B＝ ．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝ ．
4．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为 ．
5．在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝ ．
6．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为 ．
7．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 ．
8．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为 度．
9．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C为 度．
10．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（ ）
A．110°B．100°C．80°D．70°
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（ ）
A．44°B．60°C．67°D．70°
14．把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（ ）
A．83°B．57°C．54°D．33°
15．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
16．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）
A．3B．4C．2或6D．2或4
17．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
18．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A．90°B．135°C．120°D．45°或135°
19．如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
20．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
21．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 ．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为 °．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
24．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
25．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．
答案与解析
题型一 直角三角形的判定（一个角为90°）
1．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝2∠B＝3∠C；
④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；
③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B=x2，∠C=x3，则x+x2+x3=180°，解得x=1080°11，
∴∠A＝（108011）°，∠B=540°11，∠C=360°11，
∴△ABC不是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，
故选：B．
2．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B=12∠C，所以∠A+∠B+∠C=12∠C+12∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C=13∠A+12∠A+∠A＝180°，∠A=1080°11，所以△ABC为钝角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：C．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A+∠BB．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、∵∠C＝∠A+∠B，
∴∠C＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
B、∵32+42＝25＝52，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大的角∠C＝180°×53+4+5＜90°，是锐角三角形，故本选项正确．
故选：D．
题型二 直角三角形的性质--两锐角互余
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
【分析】由直角三角形的性质可直接求得答案．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
2．如图示在△ABC中∠B＝ 25° ．
【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°；
故答案为：25°．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝ 25° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
4．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为 55° ．
【分析】直接根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵在直角三角形中，一个锐角为35°，
∴另一个锐角＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
5．在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝ 53° ．
【分析】根据直角三角形的性质中两个锐角互余解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝53°，
故答案为：53°
6．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为 75°、15° ．
【分析】设另一个锐角是x，表示出这个锐角，再根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．
【解答】解：设另一个锐角是x，则这个锐角是4x+15°，
根据题意得，x+4x+15°＝90°，
解得x＝15°，
4x+15°＝4×15°+15°＝75°，
所以，这两个锐角分别为75°、15°．
故答案为：75°、15°．
7．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 55°、35° ．
【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，
则x+x﹣20°＝90°，
解得，x＝55°，
x﹣20°＝35°
故答案为：55°、35°．
8．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为 18 度．
【分析】设较小锐角为x度．根据直角三角形两锐角互余，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设较小锐角为x度．
由题意：4x+x＝90，
解得x＝18，
故答案为18．
9．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C为 30 度．
【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
故答案为：30．
10．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A
【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，同角的余角相等
【解答】解：
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
12．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（ ）
A．110°B．100°C．80°D．70°
【分析】如图，由AC⊥BC于C得到△ABC是直角三角形，然后可以求出∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，而∠ABC＝∠1＝70°，由于AB∥DF可以推出∠1+∠CEF＝180°，由此可以求出∠CEF．
【解答】解：∵AC⊥BC于C，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，
∵AB∥DF，
∴∠1+∠CEF＝180°，
即∠CEF＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（ ）
A．44°B．60°C．67°D．70°
【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝65°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝65°，∠BDC＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝40°，
∴∠BDC=12（180°﹣∠ADE）＝70°．
故选：D．
14．把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（ ）
A．83°B．57°C．54°D．33°
【分析】过点C作CF∥AB，易知CF∥DE，所以可得∠BCF＝∠B，∠FCE＝∠E，根据∠BCE＝∠BCF+∠FCE即可求解．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B＝25°．
又AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠FCE＝∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣58°＝32°．
∴∠BCE＝∠BCF+∠FCE＝25°+32°＝57°．
故选：B．
15．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠AEB的度数，根据对顶角相等求出∠DEC，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，∠A＝40°，
∴∠AEB＝50°，
∴∠DEC＝50°，又AC⊥CD，
∴∠D＝40°，
故选：A．
16．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）
A．3B．4C．2或6D．2或4
【分析】分∠C为直角、∠B为直角两种情况，根据直角三角形的概念列式计算即可．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x，
当∠C为直角时，2x+mx＝4x，
解得，m＝2，
当∠B为直角时，2x+4x＝mx，
解得，m＝6，
故选：C．
17．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
18．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A．90°B．135°C．120°D．45°或135°
【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．
【解答】解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
19．如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由直角三角形的性质得到∠A＝30°，然后根据平行线的性质即可求得∠1＝∠A＝30°．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝30°，
故选：A．
20．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
21．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 60° ．
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为 20 °．
【分析】由ED是AC的垂直平分线可得AE＝CE，求得∠BAE＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，即可求得∠BAC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．
故答案为：20．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
24．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
【分析】由∠ADE＝155°及邻补角互补，可求出∠CDE的度数，由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠C的度数，再利用“在直角三角形中，两个锐角互余”，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠ADE＝155°，∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠CDE＝25°．
在△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°．
25．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．
【分析】由CD⊥AB，∠ACB＝90°可得出∠ADC＝∠ACB，结合三角形内角和定理，即可证出∠ACD＝∠B．
【解答】证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB．
∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝∠B．