初中青岛版5.5 三角形内角和定理教案

这是一份初中青岛版5.5 三角形内角和定理教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
（1）知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。
（2）过程与方法：
通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
（3）情感态度与价值观：
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
【教学重点】
三角形内角和定理的证明思路及应用。
【教学难点】
三角形内角和定理的证明方法。
【教学过程】
（一）创设问题情境
你能回答本章情境导航中提出的问题吗？
情景导航：
三角形三个内角的和是多少度？你是怎样知道的？
画出一个三角形，用度量的方法可以发现三角形三个内角的和为180°。可是，你想过没有。即使画出一百个或更多个三角形，量出每个三角形的内角和都接近180°。这样就能证实“三角形三个内角的和为180°”吗？
三角形有无数多个，我们度量的只能是其中有限的一部分，仅仅根据对这一部分的度量就得出所有三角形内角和都是180°的结论。这种方法可靠吗？要说明这一结论的真实性，必须用逻辑推理的方法加以证明，怎样证明呢？
1．提出问题
我们知道三角形的内角和等于180°，即三角形三个内角和等于平角，你能用剪纸拼图的方法验证这个结论吗？
教师引导学生用准备好的三角形硬纸片剪纸拼图，如图，把∠A剪下放在∠1位置上，∠B剪下放在∠2位置上，较直观得到三角形内角和是180°。
教师指出：这只是实验得出的命题，不能当作定理，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识。
那么如何证明此命题是真命题呢？能否用学过的旧知识来证明呢？
2．教师引导
要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？
学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：（1）平角，（2）两平行线间的同旁内角。教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？下面同学们利用准备好的三个三角形纸片拼一拼，画一画。
3．学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法。
（1）如图11-4，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。
（2）如图11-4，延长BC，过C作CE∥AB。
（3）如图11-5，过A作DE∥AB。
（4）如图11-6，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。
（5）如图11-7，在△ABC内部任取一点P，过P点作QR∥BC，MN∥AB。ST∥AC。
（6）如图11-8，在△ABC外部任取一点P，过P点作QR∥BC，MN∥AB。ST∥AC。
学生可能还有其它画法。
“抓住根本” 抓住“把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角的定义”这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点；可以把三个角集中到三角形的某一边上；可以把三个角集中到三角形的内部的一点；可以把三个角集中到三角形的外部的一点。学数学要善于抓住不变的根本，又要灵活地在变化中认识、处理和解决问题。让学生学会“抓住根本”，而不在于有几种证明方法。培养学生的推理与证明能力。
［师］好，下面同学们来证明一下：三角形的内角和等于180°这个真命题。
这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。
［师］对，下面大家来证明，哪位同学能把证明过程叙述一下？（学生边叙述证明过程，边观看课件上的分析和证明过程。）
［生甲］已知，如图11-4，△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB。则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了射线CE、CD，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理。
即：三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°
你能用其他添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理吗？（找学生板演图11-5，11-6的证明过程。）
从图11-4及三角形内角和定理，你还发现了什么？
由∠ACE=∠A，∠ECD=∠B，可知∠ACD=∠A+∠B。
所以∠ACD﹥∠A，∠ACD﹥∠B
推论1：等于与它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
（二）挑战自我
1．求证：直角三角形的两个锐角互余。
2．已知：如图，四边形ABCD是一个任意四边形。
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=3600
（三）回顾联系，形成结构。
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它。我们还学习了两个推论。还记得是什么吗？