数学八年级上册1 函数教案

这是一份数学八年级上册1 函数教案，共11页。教案主要包含了当堂达标，小结，作业等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.6.2节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响。通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系。通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在。提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
教学重点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.
教学难点： ：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
多媒体
课程目标
学科素养
1.借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；
2. 引导学生认识y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.
3.体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.
a.数学抽象：三个参数对函数图像变化的影响；
b.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理；
c.数学运算：运用规律解决问题；
d.直观想象：由函数图像归纳规律；
e.数学建模：运用规律解决问题；
教学过程
设计意图
核心教学素养目标
（一）创设问题情境
提出问题
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ ） 其中（ A＞０ ， ω ＞０ ） 的函数 ． 显然 ， 这个函数由参数 A ， ω ， φ 所确定 ． 因此 ， 只要了解这些参数的意义 ， 知道它们的变化对函数图象的影响 ， 就能把握这个函数的性质 ．从解析式看 ， 函数 y=csx就是函数y＝Asin(ωx＋φ)，在 A ＝１ ， ω ＝１ ， φ ＝０ 时的特殊情形 ．
(1)能否借助我们熟悉的函数 y=sinx的图象与性质研究参数 A ， ω ， φ 对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响 ？
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数 ， 你认为应按怎样的思路进行研究.
1. 探索 φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
为了更加直观地观察参数φ 对函数图象的影响 ， 下面借助信息技术做一个数学实验 ．如图 5.6.4，取 A ＝１ ， ω ＝１ ， 动点 M在单位圆 O1上以单位角速度按逆时针方向运动 ．图 5.6.4如果动点 M 以 O0为起点 （ 此时 φ ＝０ ）， 经过xｓ 后运动到点P ， 那么点 P 的纵坐标 y就等于 sinx ． 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx 的图象 ．
在单位圆上拖动起点Q0 ， 使点 Q0绕点 Q1旋转π6 到Q1 ， 你发现图象有什么变化 ？如果使点Q0 绕点 Q1旋转- π6 , π3 , - π3， 或者旋转一个任意角 φ呢
当起点位于Q1 时 ， φ=π6 ， 可得函数y＝sin(x＋π6) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设两个动点分别以Q0 ，Q1 为起点同时开始运动 ． 如果以 Q0为起点的动点到达圆周上点 P的时间为xｓ ， 那么以Q1 为起点的动点相继到达点P 的时间是 (x- π6)ｓ． 这个规律反映在图象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函数y＝sinx 图象上的一点 ， 那么 G(x- π6, y )就是函数 y＝sin(x＋π6) 图象上的点 ， 如图 5.6-4所示 ． 这说明 ， 把正弦曲线y＝sinx 上的所有点向左平移π6 个单位长度 ， 就得到y＝sin(x＋π6) 的图象 ．
分别说一说旋转- π6 , π3 , - π3时的情况 ．
一般地 ， 当动点 M 的起点位置 Q所对应的角为φ 时 ， 对应的函数是 y＝sin(x＋φ) (φ≠0) ， 把正弦曲线上的所有点向左（ 当 φ ＞０ 时 ） 或向右 （ 当 φ ＜０ 时 ） 平移φ 个单位长度 ， 就得到函数y＝sin(x＋φ) 的图象 ．
2. 探索 ω （ ω ＞０ ） 对y=sin（ωx+φ ） 图象的影响下面 ， 仍然通过数学实验来探索 ．如图 5.6.5， 取圆的半径 A=1． 为了研究方便 ， 不妨令φ ＝π6． 当 ω ＝１ 时得到y＝sin(x＋π6) 的图象 ．
取 ω ＝２ ， 图象有什么变化 ？ 取 ω ＝ 12 呢 ？取 ω ＝３ ，ω ＝ 13 ， 图象又有什么变化 ？当 ω 取任意正数呢?
取ω ＝２ 时 ， 得到函数 y＝sin(2x＋π6) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设以Q1 为起点的动点 ， 当 ω ＝１ 时到达点 P 的时间为 x1ｓ ，当 ω ＝２ 时到达点 P的时间为x2 ｓ． 因为 ω ＝２ 时动点的转速是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ，所以 x2＝12x1． 这样 ， 设 G （ x ， y ） 是函数y＝sin(x＋π6) 图象上的一点 ， 那么K （12x， y ） 就是函数y＝sin(2x＋π6)图象上的相应点 ， 如图 5.6-5示 ． 这说明 ， 把y＝sin(x＋π6) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(2x＋π6) 的图象 ．y＝sin(2x＋π6) 的周期为π， 是y＝sin(x＋π6) 的周期的 12倍 ．
同理 ， 当 ω ＝12 时 ， 动点的转速是 ω ＝１ 时的 12倍 ， 以Q1为起点 ， 到达点 P的时间是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ． 这样 ， 把y＝sin(x＋π6) 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 ２ 倍 （ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(12x＋π6) 的图象 ． y＝sin(12x＋π6)的周期为４π， 是 y＝sin(x＋π6) 的周期的 ２ 倍 ．
一般地 ， 函数 的周期是2πω ， 把 y＝sin(x＋ φ) 图象上所有点的横坐标缩短 （ 当 ω ＞１ 时 ） 或伸长 （ 当 ０＜ ω ＜１ 时 ） 到原来的1ω 倍 （纵坐标不变 ）， 就得到 的图象 ．
3. 探索 A（ A ＞０ ） 对 y=sin（ωx+φ ）图象的影响
下面通过数学实验探索A 对函数图象的影响 ． 为了研究方便 ， 不妨令ω =2, φ =π6．当 A ＝１ 时 ， 如图 5.6.6， 可得y=sin（2x+π6）的图象 ．
改变 A 的取值 ， 使 A 取 ２ ， 12， ３, 13等 ， 你发现图象有什么变化 ？当 A 取任意正数呢 ?
当 A ＝２ 时 ， 得到函数 y=2sin（2x+π6）的图象 ．
进一步 ， 设射线O1Q1 与以O1为圆心 、 ２ 为半径的圆交于T1 ． 如果单位圆上以O1 为起点的动点 ， 以 ω ＝２ 的转速经过 xｓ 到达圆周上点 P ， 那么点 P 的纵坐标是 2sin（2x+π6）； 相应地 ， 点 T1在以 O1为圆心 、 ２ 为半径的圆上运动到点 T ， 点 T 的纵坐标是 2sin（2x+π6）．这样 ， 设 K（ x ， y ） 是函数y=sin（2x+π6） 图象上的一点 ， 那么点 N （ x ，2 y ）就是函数图象y=2sin（2x+π6）上的相应点 ， 如图 5.6.6所示 ． 这说明 ， 把 y=sin（2x+π6）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ２ 倍 （ 横坐标不变 ）， 就得到 y=2sin（2x+π6）的图象 ．同理 ， 把y=sin（2x+π6） 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12 倍（ 横坐标不变 ）， 就得到y=12sin（2x+π6）的图象 ．
一般地 ， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ， 可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长 （ 当 A ＞１ 时 ）或缩短 （ 当 ０＜ A＜１ 时 ） 到原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ） 而得到 ． 从而 ， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的值域是 ［ － A ， A ］，最大值是 A ， 最小值是 － A
你能总结一下从正弦函数图象出发 ， 通过图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) （ A ＞０ ，ω ＞０ ） 图象的过程与方法吗 ?
一般地 ， 函数y＝Asin(ωx＋φ) （ A ＞０ ， ω ＞０ ） 的图象 ， 可以用下面的方法得到 ： 先画出函数 y＝sinx的图象 ； 再把正弦曲线向左 （ 或右 ） 平移φ个单位长度 ， 得到函数y＝sin(x＋φ) 的图象 ； 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1ω 倍 （纵坐标不变 ）， 得到函数y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象 ．
规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象得y=sin(x+φ)的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
y=sinx的图象得y=Asinx的图象
得y=Asin(ωx)的图象[来源:ZXXK
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
典例解析
例 １ 画出函数 y=12sin（3x- π6）的简图 ．
解 ：先画出函数y=sinx的图象 ； 再把正弦曲线向右平移 π6个单位长度 ，得到函数的图象 ； 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 13 倍 ， 得到函数 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 ２ 倍 ， 这时的曲线就是函数y=12sin（3x- π6）的图象 ， 如图 5.6.7所示 ．
下面用 “ 五点法 ” 画函数y=12sin（3x- π6）在一个周期（T=2π3 ）内的图象 ．令 X ＝3x- π6， 则 x＝ 13（ X+ π6）列表 （ 表 5.6.1），描点画图 （ 图 5.6.8）
例 2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施 ， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转 ， 可以从高处俯瞰四周景色 ． 如图 5.6.9， 某摩天轮最高点距离地面高度为 120ｍ ， 转盘直径为110ｍ ， 设置有 48个座舱 ， 开启后按逆时针方向匀速旋转 ， 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱 ， 转一周大约需要30in ．
（ １ ） 游客甲坐上摩天轮的座舱 ， 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H ｍ ， 求在转动一周的过程中 ， H关于t 的函数解析式 ；
（ ２ ） 求游客甲在开始转动 ５ min后距离地面的高度 ；
（ ３ ） 若甲 、 乙两人分别坐在两个相邻的座舱里 ， 在运行一周的过程中 ， 求两人距离地面的高度差h （ 单位 ： ｍ ） 关于 t的函数解析式 ， 并求高度差的最大值 （ 精确到 ０．１ ）
分析 ： 摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转 ． 在旋转过程中 ， 游客距离地面的高度 犎 呈现周而复始的变化 ， 因此可以考虑用三角函数来刻画 ．
解 ： 如图 ， 设座舱距离地面最近的位置为点 P ，
以轴心 O为原点 ， 与地面平行的直线为 x轴建立直角坐标系 ．
（ １ ） 设 t=0 min时 ， 游客甲位于点 P（0 ，-55 ），以 OP为终边的角为 - π2； 根据摩天轮转一周大约需要 30 min ， 可知座舱转动的角速度约为π15 π rad／min ， 由题意可得H=55sin（π15t- π2）+65 ,0≤t≤30,
（ ２ ） 当 t＝５ 时 ， H=55sin（π15×5- π2）+65 =37.5
所以 ， 游客甲在开始转动 5 min后距离地面的高度约为 37.5ｍ．
（ ３ ） 如图 ,甲 、 乙两人的位置分别用点 A,B表示 ， 则 ∠ AOB＝2π48＝π24 ．经过t min 后甲距离地面的高度为 H1=55sin（π15t- π2）+65 ，点 B相对于点 A 始终落后 π24 rad， 此时乙距离地面的高度为H2=55sin（π15t- 13π24）+65． 则甲 、 乙距离地面的高度差h=H1-H2=55sin（π15t- π2）-sin（π15t- 13π24)=55sin（π15t- π2）+sin（13π24-π15t),利用sinθ+sinφ=2sinθ+φ2csθ-φ2，可得
h=110sinπ48sin（π15t-π48), 0≤t≤30，当 π15t-π48=π2（或3π2），
即 t ≈7.8（ 或 22.8） 时 ， h 的最大值为 110 sinπ48 ≈7.2．
所以 ， 甲 、 乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2ｍ．
通过开门见山，提出问题，利用图像变换观察参数对函数图像的影响问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。
通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
三、当堂达标
1．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的振幅和周期分别为( )
A．3,4 B．3，eq \f(π,2) C. eq \f(π,2)，4 D.eq \f(π,2)，3
【解析】 由于函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))，∴振幅是3，周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.
【答案】 A
2．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq \f(π,3)个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) C．y＝sineq \f(1,2)x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))
【解析】 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象，再将此图象向左平移eq \f(π,3)个单位，
得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象，选D.
【答案】 D
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq \f(2π,7)，初相是eq \f(π,6)，则这个函数的表达式是( )
A．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,6))) B．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,6)))
C．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,42))) D．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,42)))
【解析】 由已知得A＝3，T＝eq \f(2π,7)，φ＝eq \f(π,6)，ω＝eq \f(2π,T)＝7，所以y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,6))).
【答案】 B
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图象的一条对称轴是____．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
【解析】 由正弦函数对称轴可知．x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，k＝0时，x＝eq \f(π,6).
【答案】 ③
5．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.
【解】 (1)由2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝eq \f(π,3)＋eq \f(k,2)π，k∈Z；由2x－eq \f(π,6)＝kπ，
k∈Z解得对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(k,2)π，0))，k∈Z；由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z解得单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))，k∈Z；由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z，解得单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z.
(2)∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5,6)π，
∴当2x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,3)时，f(x)取最大值为2.
通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角函数图像变换规律的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.
2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+π3))的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.
五、作业
1. 课时练 2. 预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；