高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义达标测试

第六章 导数及其应用

6.1.2 导数及其应用

一、基础巩固

1．曲线在点处的切线方程是   

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．

曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．

即x﹣y+1=0．

2．设曲线在点处的切线方程为，则（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】

因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.

3．已知函数在点处的切线与直线垂直，则a的值为　　

A． B． C．3 D．

【答案】B

【详解】

解：函数的导数为，

可得在点处的切线斜率为3，

由切线与直线垂直，

可得，

故选B．

4．设曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【详解】

，∵，则．

5．若函数在点处的切线与垂直,则=(   )

A．2 B．0 C． D．

【答案】D

【详解】

，，

即函数在点处的切线的斜率是，

直线的斜率是，

所以，解得.

点在函数的图象上，则，

，

6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，故切线的斜率为，故切线方程为：，

化简得到.

令，则；令，则.

故切线与坐标轴所围三角形的面积为.

7．已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是    (  )

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

设,由题得

所以,

∴.

8．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（    ）

A． B．1 C．或1 D．或1

【答案】A

【详解】

解：，于是切线的斜率，

切线与直线平行

，

，

时，，切点是，

切线的斜率，

故切线方程是：，

即和直线重合，

故，

9．函数的图象在点处的切线斜率为（    ）

A．2 B．-2 C．4 D．

【答案】D

【详解】

解：因为，所以，.

10．若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【解析】

由题意，可设切点坐标为，由，则，切线斜率，由点斜式可得切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得或，所以切线斜或.故正确答案为C.

11．已知函数的图像在点的处的切线过点，则（    ）.

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【详解】

解：函数的导函数为，

，而，

切线方程为.

因为经过点，所以，

解得.

12．设曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A．0 B．1 C．-2 D．2

【答案】D

【详解】

由题得，则切线的斜率为.

又，曲线在点处的切线方程为，即.

又切线方程为，所以比较系数得，解得.

所以.

二、拓展提升

13．已知曲线.

(Ⅰ) 求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【详解】

(Ⅰ)由题意得，所以， ，可得切线方程为，整理得．

(Ⅱ)令切点为，因为切点在函数图像上，所以，，所以在该点的切线为  

因为切线过原点，所以，解得，可得切点为，，，所以切线方程为或．

14．已知函数

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

【答案】(1).

(2)证明见解析.

【解析】

方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.

（Ⅰ）

所以则切线方程为

（Ⅱ）令则设的两根为，

由于不妨设则在是递减的，在是递增的，

而所以在单调递增，

所以，因为

所以.

15．已知函数

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若曲线在处的切线方程为，求的值．

【答案】（1）（2）

解：(1)当时，，∴，

曲线在处的切线方程为，即；

(2) ，

若曲线在处的切线方程为，

∴，∴.