人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.2 导数及其几何意义习题

【精编】6.1.2 导数及其几何意义-2课时练习

一．填空题

1．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.

2．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，过点和的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，当取最大值时，双曲线的方程为________.

3．已知函数，则函数在处的切线方程为______.

4．已知函数为偶函数，当时，，则函数在处的切线方程为________．

5．若，则________.

6．曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为____________.

7．曲线在点处的切线与直线垂直，则曲线的切线方程是_________.

8．若函数为奇函数，曲线在点处的切线方程为______.

9．曲线在点处的切线的斜率为__.

10．已知直线为曲线的一条切线，则实数a的值为__________.

11．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.

12．曲线在点处的切线方程与直线垂直，则______．

13．已知函数的导函数是，若的图像在点的处的切线过点，则＝________；

14．曲线（是自然对数的底数）在处的切线方程为_______.

15．已知函数，则函数在处的切线方程为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：函数有三个零点，可知和的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案.

详解：令，

函数有三个零点，则和的图象有三个交点，

当时，，且；当时，；是过点的折线.

先考虑特殊情况，若折线与在上存在相切，设切点为，

由，可得切线斜率为，则切线方程为，

因为切线过点，所以，

解得，即切点为，切线斜率为1，

切线方程为，此时；

若折线与在上相切，设切点为，

由图象可知，且，

令，

方程整理得，

则，解得，

因为在上最大值为，

所以，即，

计算可知，，所以；

①当时，，两个函数没有交点，不符合题意；

②当时，与的图象在上有1个交点，

在上没有交点，在上有2个交点，共有3个交点，符合题意；

③当时，与的图象在上有1个交点，

在上至多有1个交点，不符合题意；

④当，

即时，与的图象在上有1个交点，

在上有2个交点，在上没有交点，共有3个交点，符合题意.

⑤当时，与的图象在上有1个交点，

在上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.

2．【答案】

【解析】分析：设点的坐标为，则，利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标，可求得直线的方程，并求得点的坐标，可得出，利用三角换元思想求得的最大值及其对应的．的值，由此可求得双曲线的标准方程.

详解：设点的坐标为，则，对于二次函数，求导得，

由于抛物线在点处的切线与直线垂直，则，

解得，则，所以，点的坐标为，

抛物线的焦点为，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，该直线交轴于点，，

可设，，其中，

，

，，

当时，即当时，取得最大值，

此时，，，

因此，双曲线的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.

3．【答案】

【解析】分析：首先求导，得到斜率，根据得到切点坐标，再利用点斜式即可写出切线方程.

详解：因为，，

则，

又因为，所以切点为

故切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义中的切线问题，属于简单题.

4．【答案】

【解析】分析：依题意，可求得时的解析式为，求导，可得曲线在处的切线的斜率，继而可得答案．

详解：因为函数是偶函数，当时，，所以当时，，

所以，

所以，

又，

所以，

所以曲线在处的切线方程为．

故答案为：．

【点睛】

此题考查导数的几何意义，根据导函数求得切线斜率，利用直线经过的点和斜率写出切线方程.

5．【答案】

【解析】分析：本题根据导函数的定义直接求解即可.

详解：解：根据导函数的定义：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导函数的定义所涉及的运算问题，是简单题.

6．【答案】4

【解析】分析：根据导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，两直线平行则斜率相等列出等式，再对利用均值不等式即可得解.

详解：曲线的导数为，

则曲线在处的切线的斜率

两直线平行则，

所以，当且仅当时取等号.

故答案为：4

【点睛】

本题考查导数的几何意义，基本不等式求和的最小值，属于基础题.

7．【答案】

【解析】分析：求导得到，根据垂直得到，代入计算得到答案.

详解：∵，∴，，切线的斜率，

又切线与直线垂直，故，∴，

所求切线的方程为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.

8．【答案】

【解析】分析：由奇函数，可知，从而可求出，求出函数的导数，即可求出切线的斜率，由点斜式，可写出切线的方程.

详解：解：由函数为奇函数可知， ，

即，解得，即.

则，，所以.则 ，整理得.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，考查了导数的几何意义，考查了直线方程.若已知函数的奇偶性，求参数的值，一般都是代入特殊值，列关于参数的方程进行求解；若判断函数的奇偶性，则一般结合函数的图像或奇偶性的定义，判断 的关系即可.

9．【答案】4

【解析】分析：求得函数的导数，代入，可得所求切线的斜率.

详解：的导数为，

可得曲线在处的切线的斜率为，

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于容易题.

10．【答案】

【解析】分析：先对进行求导，设出切点，然后令导函数等于1求出切点坐标，从而求得参数的值．

详解：解：设切点为，，因为，所以，依题意可得，且，解得，即切点坐标为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的运用，主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于基础题．

11．【答案】

【解析】分析：设出切点坐标，求导，得出过该切点的切线方程，再代入原点坐标，解出切点的坐标，可得答案.

详解：设切点坐标为，，，，

则曲线在点处的切线方程为，

由于该直线过原点，则，得，

因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查求函数过某点的切线方程，一般解决切线方程的问题，不知切点时需设切点，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：由点在曲线上，即可求出，再求出曲线在点的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为，求出，即可得解；

详解：解：∵是的点，则，，显然在点处的斜率，

则切线方程为，

∵直线与直线垂直，则，显然，

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念．知识的掌握程度，属于基础题．

13．【答案】1

【解析】分析：求出函数的导数，求出切线方程，得到关于的方程，解出即可；

详解：，，

又，切线方程为，

切线过点，

，

解得；

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，属于基础题.

14．【答案】y＝ex﹣e

【解析】分析：分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程．

详解：∵f′（x）＝2ex﹣ex，

∴k＝f′（1）＝e，又f（1）＝0

故切线方程为y＝e（x﹣1），

即y＝ex﹣e．

故答案为：y＝ex﹣e．

【点睛】

本题考查了利用导数求切线方程的方法，要注意计算的准确性．属于基础题．

15．【答案】

【解析】分析：先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可.

详解：由已知得且，，

则切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.