高中数学1.4 三角函数的图象与性质随堂练习题

1.4　三角函数的图象与性质

1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

课时过关·能力提升

基础巩固

1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)

A.重合 B.形状相同,位置不同

C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同

解析:根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.

答案:B

2.函数y=-sin x,x∈的简图是(　　)

解析:用特殊点来验证.当x=0时,y=-sin 0=0,排除选项A,C;又当x=-时,y=-sin=1,排除选项B.

答案:D

3.方程x+sin x=0的根有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个

解析:设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图.

由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点,则方程x+sin x=0仅有一个根.

答案:B

4.若sin x=2m+1,x∈R,则m的取值范围是　　　　　. 

解析:∵sin x∈[-1,1],

∴-1≤2m+1≤1,解得-1≤m≤0.

答案:[-1,0]

5.在[0,2π]上满足2sin x-≥0的x的取值范围是　　　　　. 

解析:由2sin x-≥0,得sin x≥.由正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象知,当x∈时,sin x≥.

所以满足条件的x的取值范围是.

答案:

6.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=的交点的个数是　　　　　. 

解析:画出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象,并作出直线y=,由图知,它们共有两个交点.

答案:2

7.观察正弦曲线y=2sin x+3可知,最高点的横坐标组成的集合是S=　　　　　　　,最高点的纵坐标等于　　　　　. 

答案:　5

8.利用“五点法”作出y=sin,x∈的图象.

解:列表如下:

描点连线,如图.

能力提升

1.从函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象来看,若cos x=m-1,则m的取值范围是(　　)

A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2] D.[-2,0]

解析:由余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象知,-1≤cos x≤1,则-1≤m-1≤1,即0≤m≤2.

答案:C

2.方程sin x=的根的个数是(　　)

A.7 B.8 C.6 D.5

解析:画出函数y=sin x,y=的图象如图,两图象的交点个数为7,故方程sin x=的根有7个.

答案:A

3.在[0,2π]上,不等式sin x<-的解集是(　　)

A.(0,π) B. C. D.

解析:因为sin ,所以sin=-,sin=-,画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:

结合图象可知不等式sin x<-的解集是.

答案:C

4.函数y=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=的交点的个数为　　　　　. 

解析:f(x)=sin x+2|sin x|=

在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)和y=的图象,

如图,则它们的图象有4个交点.

答案:4

5.★下列各组函数中,图象相同的是　　　　　.(填序号) 

①y=cos x与y=cos(π+x);

②y=sin与y=sin;

③y=sin x与y=sin(-x);

④y=sin(2π+x)与y=sin x.

解析:本题所有函数的定义域都是R.

cos(π+x)=-cos x,则①不同;

sin=-sin=-cos x,

sin=cos x,则②不同;

sin(-x)=-sin x,则③不同;

sin(2π+x)=sin x,则④相同.

答案:④

6.★已知函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.

解:作图可知,图形S1与S2,S3与S4都是两个对称图形,则S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积,可以等价转化为矩形OABC的面积.

∵OA=2,OC=2π,

∴S矩形OABC=2×2π=4π.

故所求封闭图形的面积为4π.

7.已知函数f(x)=-2cos x+3.

(1)用“五点法”作函数f(x)在[0,2π]上的简图;

(2)解不等式f(x)≤2.

解:由条件列表如下:

描点、连线得函数f(x)=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象如图所示.

(2)由f(x)≤2,得-2cos x+3≤2,即cos x≥.

结合余弦函数的图象可知2kπ-≤x≤+2kπ,k∈Z,所以不等式f(x)≤2的解集为

.