高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.1 复数的概念随堂练习题

四　复数的概念

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.如果全集U是复数集,那么 (　　)

A.UQ={无理数}  B.R∩(UR)={0}

C.UZ={分数}   D.UR={虚数}

【解析】选D.实数集与虚数集的并集等于全集U,且实数集与虚数集的交集等于空集.

2.已知x是方程x2=-1的根,则1+x= (　　)

A.1+i   B.1-i   C.1±i  D.0

【解析】选C.由x2=-1,可知x=±i,

所以1+x=1±i.

3.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi= (　　)

A.-2+i  B.2+i   C.1-2i  D.1+2i

【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.

4.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= (　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.

5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为 (　　)

A.3-4i  B.-3+4i

C.-4+3i  D.4-3i

【解析】选C.由于复数z=3-4i的实部为3,虚部为-4,故所求复数为-4+3i.

6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是 (　　)

A.是分数

B.i是无理数

C.-i2不是虚数

D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数

【解析】选CD.由于i是虚数单位,则、i都是虚数,A、B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k的值为________. 

【解题指南】由复数是负数,得虚部为0,实部为负数,可以求k的值.

【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,

则k2-5k+6=0,k2-3k<0,

解得k=2,k=3(舍去).

答案:2

8.已知复数z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π],若z为纯虚数,则θ=________. 

【解析】由复数z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π]为纯虚数,

得cos θ=0,sin θ≠0,θ∈[0,2π],

所以θ=或.

答案:或

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.已知复数z=+i(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.

【解析】因为复数z=+i(m∈R)是虚数,

所以,

解得m<0或m>1且m≠-2.

所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).

10.当x取何值时,复数z=(x2+x-2)+(x2-3x+2)i,(x∈R)

(1)是实数?

(2)是纯虚数?

(3)对应的点在第四象限?

【解析】(1)当z是实数时,x2-3x+2=0,解得x=1或x=2;

(2)当z是纯虚数时,,

解得x=-2;

(3)当对应的点在第四象限时,

则有⇒1<x<2,

所以x的取值范围为1<x<2.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.复数z=1-i的实部与虚部的差为 (　　)

A.1 B.-2 C.2 D.0

【解析】选C.复数z=1-i的实部为1,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为2.

2.“m=1”是“复数z=(m2+m-2)+(m2-m)i为实数”的 (　　)

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.先求“复数z=(m2+m-2)+(m2-m)i为实数”的充要条件,即m2-m=0,解得m=0或m=1,所以“m=1”是“复数z=(m2+m-2)+(m2-m)i为实数”的充分不必要条件.

3.(多选题)下列命题中为真命题的是 (　　)

A.复数一定是虚数

B.实数一定是复数

C.复数的平方数一定是非负实数

D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0

【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,D是真命题.

4.下列命题中,正确命题的个数是 (　　)

①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;

②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;

③若x2+y2=0,则x=y=0.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选A.①由于x,y∈C,

所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.

②由于两个虚数不能比较大小,所以②是假命题.

③当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以③是假命题.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于其他三个的一个复数是________. 

【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.

答案:3-i2

6.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________. 

【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1<a<1.

答案:(-1,1)

7.已知z1=+i,z2=cos β+isin β,且z1=z2,则α-β的值为________. 

【解析】由复数相等的充要条件,知

即①2+②2得2-2(cos α·cos β+sin α·sin β)=1,即2-2cos(α-β)=1,

所以cos(α-β)=.

所以α-β=±+2kπ,k∈Z.

答案:±+2kπ,k∈Z

8.下列命题中:

①两个虚数不能比较大小;②若z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当a=0且b≠0时,z为纯虚数;③(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.

其中正确命题的个数为________. 

【解析】两个虚数可以相等,但不可以比较大小,①正确;根据纯虚数的概念,②正确;若z1=i,z2=0,z3=1,满足条件等式,而不满足z1=z2=z3,③不正确;若实数a=0时,ai=0,不是纯虚数,④不正确.

所以正确命题的个数为2.

答案:2

三、解答题(共38分)

9.(12分)已知关于x,y的方程组

有实数解,求实数a,b的值.

【解析】设(x0,y0)是方程组的实数解,由已知及复数相等的意义,得由①②得代入③④得

所以实数a,b的值分别为1,2.

10.(12分)已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足M∩N≠,求整数a,b.

【解析】依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i, ①

或8=(a2-1)+(b+2)i, ②

或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i. ③

由①得a=-3,b=±2,由②得a=±3,b=-2.

③中,a,b无整数解不符合题意.

综上所述得a=-3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,b=-2.

11.(14分)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.

【解析】由定义运算=ad-bc,

得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

因为x,y为实数,所以有

得得x=-1,y=2.