人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀学案

空间中的垂直关系同步练习

直线与直线垂直同步练习

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定（　　）

A. 与a，b都相交

B. 只能与a，b中的一条相交

C. 至少与a，b中的一条相交

D. 与a，b都平行

2. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）

A. 相交   B. 异面

C. 平行   D. 垂直

3. 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）

A. AB∥CD   B. AB与CD相交

C. AB⊥CD   D. AB与CD所成的角为60°

4. 如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于（  　）

A. 30°   B. 45°

C. 60°   D. 90°

5. 已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A.    B.

C.    D.

二、填空题

6. 如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________。

三、解答题

7. 如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点。

（1）求证：直线EF与BD是异面直线；

（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角。

直线与直线垂直同步练习参考答案

1. 答案：C　

解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾。故选C。

2. 答案：A　

解析：由BC//AD，AD//A1D1知，BC//A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交。

3. 答案：D

解析：如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确。图②中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°。∴正确选项为D。

4. 答案：C

解析：如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角。因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C。

5. 答案：C

解析：如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角。

因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AB1＝，AD1＝。在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，

所以B1D1＝＝，

所以cos∠B1AD1＝＝。

6. 答案：

解析：不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角。在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，由余弦定理可得cos∠OEC＝＝。即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为。

7. （1）证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾。故直线EF与BD是异面直线。

（2）解：取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角。又因为AC⊥BD，则FG⊥EG。 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°。

直线与平面垂直同步练习

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　）

A. 平行     B. 相交　　　 C. 异面　　　  D. 垂直

2. 垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是（　　）

A. 垂直   B. 相交但不垂直 C. 平行    D. 不确定

3. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）

A. 60°     B. 45°    C. 30°      D. 120°

二、填空题

4. 如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________。

三、解答题

5. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D。

6. 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB。 求证：a∥l。

7. 在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60°。

（1）求证：AC⊥BD1；

（2）求四面体D1AB1C的体积。

直线与平面垂直同步练习参考答案

1. 答案：A　

解析：若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾。所以直线l与m不可能平行。

2. 答案：A

解析：因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直。选A。

3. 答案：A　

解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，

所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°。故选A。

4. 答案：AB，BC，AC　；AB

解析：因为PC⊥平面ABC，

所以PC垂直于直线AB，BC，AC。

因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，

所以AB⊥平面PAC，

又因为AP⊂平面PAC，

所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB。

5. 证明：如图，连接AC，

∴AC⊥BD，

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，

∴BD⊥平面A1AC，

∵A1C⊂平面A1AC，

∴BD⊥A1C。

同理可证BC1⊥A1C。

又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，

∴A1C⊥平面BC1D。

6. 证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA。

同理l⊥EB。 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB。

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB。

由线面垂直的性质定理，得a∥l。

7. （1）证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD。在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，则AC⊥BD1。

（2）解：VD1AB1C＝VABCD­A1B1C1D1－VB1­ABC－VD1­ACD－VA­A1B1D1－VC­C1B1D1＝VABCD­A1B1C1D1－4VB1­ABC＝×－4×××＝。