2.2.2对数函数及其性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修1）

专题2.2.2 对数函数及其性质

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数的定义域为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由函数，可知 ，解得 ，

2．函数y= 的图象关于   (     )

A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称

【答案】C

【解析】函数，

，则，函数关于原点对称。

3.（2020·镇平县第一高级中学高一月考）已知函数定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．    D．

【答案】C

【解析】已知的定义域为，即恒成立，当时，不恒成立，，解得：，所以实数的取值范围是.

4．（2020·石嘴山市第三中学）已知是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，解得．

5．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，且，据此，结合函数的单调性有，即.

6．对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵loga（ex+3）≥1＝logaa，∴a＞1且a≤ex+3对任意实数x都成立，又ex+3＞3，∴1＜a≤3。

7．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）若函数的图象过定点，则不等式的解集为（    ）

A．   B．   C．  D．

【答案】A

【解析】函数的图象过定点，则，，，，.

8．（2020·河北衡水中学）已知正实数满足，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象可得：，故选B．

9．（2020·宁夏银川一中）已知  ，若互不相等，且，则的取值范围为（　　）

A．（1，15） B．（10，15） C．（15，20） D．（10，12）

【答案】B

【解析】不妨设，画出的图像如下图所示，由于，故，所以.

10．（2020·公主岭市第一中学校）当时，，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时， ， ，不成立，当时，当时，，解得：，如图，若时，时，.

11．（2020·浙江高一课时练习）已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．

12．已知，若正实数满足，则的取值范围为（   ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】C

【解析】因为与都是上的增函数，所以是上的增函数，

又因为，所以等价于，由，知,

当时，在上单调递减，故，从而；当时，在上单调递增，故，从而，综上所述， 的取值范围是或，故选C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·全国高一课时练习）若是函数的反函数，且，则＝________．

【答案】

【解析】，则点 在的函数图像上，又互为反函数的图像，关于直线 对称，

所以关于直线的对称点在函数上，所以，所以=。

14．（2020·河北路南�唐山一中）已知函数．若函数的值域为R, 则实数m的取值范围为________．

【答案】

【解析】若函数的值域为R,则能取遍一切正实数,,即 ,实数m的取值范围为

15．（2020·甘肃省甘谷第一中学）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________．

【答案】

【解析】由题意，令，解得，或，故函数的定义域为，

，得，令，则，

根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，由二次函数的性质，的增区间为，所以函数的单调递增区间为.

16．（2020·天津和平耀华中学高一期末）已知对任意都有意义,则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】要使函数有意义，则当意时，恒成立，即．若时，当时，此时不成立．若，当时，作出函数和的图象，当时，，得，即，若对任意恒意义，则，即实数的范围是．

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·盘锦市第二高级中学）已知函数在区间上的最大值为2.

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或2   （2）见解析

【解析】（1）当时，在上是减函数，是最大值，，∴，

当时，在上是增函数，最大值为，，∴，∴或2

（2）当时，由得，解得：

∴，∴，∴的取值范围是，当时，由得，解得：，∴，∴，∴的取值范围是.

18．（2020·开鲁县第一中学）设,且.

（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值．

【答案】（1），定义域为；（2）2

【解析】（1）,解得.故,

则,解得,故的定义域为.

（2）函数,定义域为,,

由在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得在上单调递增,在上单调递减.故在区间上的最大值为.

19．（2020·辽宁辽阳高一期末）已知函数.

（1）若是定义在R上的偶函数，求a的值及的值域；

（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，所以， 故，此时，，定义域为R，符合题意.令，则，

所以，故的值域为.

（2）设.因为在上是减函数，

所以在上是减函数，且在上恒成立，

故，解得，即.

20．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）已知函数.

(1)当时,求；

(2)求解关于的不等式；

(3)若恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】（1）当时，   

（2）由得：，或

当时，解不等式可得：或

当时，解不等式可得：或

综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为

（3）由得：，或

①当时，，

或，解得：

②当时，，

或，解得：

综上所述：的取值范围为