第2章函数 基础测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第二章函数基础测试题

一、单选题

1．已知是幂函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．-2

2．下列函数中是奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数在上是偶函数，且在上是单调函数，若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

5．下列函数中，与函数表示同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

6．下列函数中，是偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

7．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数 ，若，则的值为（   ）

A．5 B．6 C．7 D．8

9．幂函数的图象过点，则它的单调增区间是（    ）

A． B． C． D．

10．若函数为上的减函数，则实数的取值范围为（    ）

A．a>1 B．a<1 C． D．－1≤a≤1

11．已知函数，则的值是（    ）

A． B． C． D．

12．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知函数满足，则__________.

14．已知函数的对应关系如下表所示，则________.

15．函数，满足的的取值范围是____________.

16．若函数满足，并且当时，，则________.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

18．已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．

（1）写出函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值．

19．若函数.

（1）求、；

（2）求函数的定义域.

20．函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）计算，；　　

（2）当时，求的解析式．

21．已知函数.

（1）证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数；

（2）记函数g(x)＝f(x＋1)－1，判断函数的g(x)的奇偶性，并加以证明.

22．定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有，且当时，，又.

（1）求证：为奇函数；

（2）求函数在上的最大值与最小值

参考答案

1．C

【分析】

根据幂函数的概念可得结果.

【详解】

因为是幂函数，所以，即.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：掌握幂函数的概念是解题关键.

2．B

【分析】

利用奇函数的定义逐个判断可得答案.

【详解】

对于，，为偶函数，故不正确；

对于，，为奇函数，故正确；

对于，，不为奇函数，故不正确；

对于，，不为奇函数，故不正确.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：掌握奇函数的定义是解题关键.

3．C

【分析】

由解得结果可得解.

【详解】

由函数有意义可得，解得且，

所以函数的定义域为.

故选：C

【点睛】

方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：

1、有分式时：分母不为0；

2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；

3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；

4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；

5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；

6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.

4．D

【分析】

先判断函数在，上是单调减函数，可得（1），从而得出结论．

【详解】

函数在上是偶函数，且在上是单调函数，

所以函数在，上也是单调函数，

根据，可得函数在，上是单调增函数，

故函数在，上是单调减函数，

故（1），

故选：．

5．C

【分析】

根据两个函数的定义域、对应法则是否相同，即可判断是否为同一函数．

【详解】

对于，函数的定义域为，和的定义域不同，不是同一函数；

对于，函数的定义域为，和的定义域不同，不是同一函数；

对于，函数的定义域为，和的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；

对于，函数的定义域为，和的对应法则不相同，不是同一函数．

故选：C．

6．D

【分析】

根据基本初等函数的性质直接判断.

【详解】

因为是奇函数，和是非奇非偶函数，是偶函数，

故选：D

7．B

【分析】

化简函数的解析式为，结合一次函数的图象与性质，即可求解

【详解】

由题意，函数，

当时，；当时，，

即，结合一次函数的图象与性质，可得选项B符合.

故选：B.

8．C

【分析】

首先利用换元法求出函数的解析式，由解析式即可求解.

【详解】

由，，

令，则，

所以，

所以，解得.

故选：C

9．A

【分析】

由幂函数过定点，可求出，进而判断其单调区间.

【详解】

设幂函数为，由图象过点，知：

，得，

∴幂函数为

故其单调增区间为.

10．C

【分析】

利用用一次函数的单调性得到，再由二次不等式的解法，即可得解.

【详解】

函数为上的减函数，

则，

解得；

故选：C.

11．C

【分析】

先计算的值，然后再计算的值．

【详解】

当时，，

又，∴．

故选：C．

12．D

【分析】

根据他行驶速度知距离的变化，速度越快变化越快，反应在图象上越陡峭．由此可得正确选项．

【详解】

中间停留了一段时间，中间有一段图象与时间轴平行，排除AC，后来是加速行驶，因此图象越陡峭，排除B，只有D符合．

故选：D．

13．1

【分析】

在中，令即可得解.

【详解】

因为，

所以，

故答案为：1

14．5

【分析】

先求出，再由求解 即可．

【详解】

由所给表格可得：

，

所以．

故答案为：5．

15．．

【分析】

根据分段函数的解析式得出不等式组或，解之可得答案．

【详解】

因为，，所以或，解得或，

所以的取值范围是．

故答案为：．

16．

【分析】

利用将化为，再利用时的解析式可求得结果.

【详解】

因为，且当时，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：将化为进行求解是解题关键.

17．（1）6；（2）.

【分析】

（1）逐步代入求值即可；（2）分段讨论每一段范围下对应的函数解析式，然后求解即可.

【详解】

解：（1）

（2）当a≤-1时，f(a)=a+2=3得a=1舍去.

当-1<a<2时，f(a)=a2=3得(或a=-舍去)

当a≥2时，f(a)=2a=3得a=1.5舍去

综上所述得a的值为.

18．（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.

【分析】

根据函数过，即可画出函数图象，（1）由所得图象写出单调区间即可；（2）写出区间端点值、极值，再比较它们的大小即可得最大值.

【详解】

的图象如图所示．

(1) 在和上是增函数，在上是减函数，

∴单调递增区间为，；单调递减区间为；

(2)∵，，

∴在区间上的最大值为.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式画函数图象，利用图象确定函数的性质，属于简单题.

19．（1）,；（2）.

【分析】

（1）利用函数的解析式可求得、的值；

（2）根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，进而可求得函数的定义域.

【详解】

（1），，；

（2）对于函数，则有，解得且.

因此，函数的定义域为.

【点睛】

本题考查函数值的计算，同时也考查了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

20．(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）

【分析】

（1）根据已知条件，得到f(-x)=-f(x),进而得到f(0)，同时利用对称性得到f(-1)的值．

（2）令则则，结合性质得到结论．

【详解】

（1），

（2）令则则，又函数f(x)是奇函数

所以

【点睛】

本题主要是考查函数奇偶性和函数的解析式的运用．解决该试题的关键是利用奇函数的对称性得到x<0的解析式，进而分析得到特殊的函数值．属于基础题．

21．（1）证明见解析；（2）g(x)是奇函数，证明见解析.

【分析】

（1）直接利用单调性的定义进行证明；

（2）直接利用奇偶性的定义判断即可

【详解】

（1）证明：设任意且，

则

，

因为且，所以，，

所以，即

所以函数在上是减函数；

（2）g(x)＝f(x＋1)－1＝，g(x)是奇函数，证明如下：

因为g(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

关于原点对称，

且g(－x)＝＝－g(x)，

所以g(x)是奇函数

【点睛】

此题考查函数单调性的证明，考查函数奇偶性的判断，属于基础题

22．（1）证明见解析；（2）最大值2，最小值-4.

【分析】

（1）令得到，再令，，利用奇偶性的定义证明.

（2）设，，由主条件得到，再判断其正负,然后利用单调性求最值.

【详解】

（1）令，得

令，，得，

∴

∴，即

∴为奇函数

（2）设，，

则，即

，

，

∴在R上是减函数

，

，，，

∵在R上是减函数

.