专题12 指数函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题12 指数函数

（指数函数的定义与图像，指数函数的性质）

知识梳理

1.根式的运算性质：(1)当n为任意正整数时，()=a

(2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=

(3)根式的基本性质：，（a0）

2.分数指数幂的运算性质：

3.指数函数

热身练习

1、的分数指数幂表示为         

【难度】★

【答案】

2、函数的值域是     

【难度】★★

【答案】

3、函数的图像必经过点    

【难度】★★

【答案】

4、下列函数中值域是的是（    ）

A、   B、  C、   D、

【难度】★★

【答案】B

5、已知函数满足，且，比较与的大小关系

【难度】★★★

【答案】∵，∴函数的对称轴是．故，又，∴．

∴函数在上递减，在上递增．若，则，∴；

若，则，∴．综上可得，即．

例题解析

考点一、指数函数的概念和性质

【例1】在下列函数中，是指数函数的有_________________

①②③④⑤⑥⑦

【难度】★【答案】①⑥

【例2】函数是指数函数，求的值

【难度】★★【答案】2

【例3】函数的定义域是

【难度】★★【答案】

【例4】函数在上是减函数，求的取值范围

【难度】★★【答案】

【巩固训练】

1．指出下列函数哪些是指数函数？

（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）．

【难度】★【答案】（1）（5）（6）

2．作出函数与的图像．

【难度】★★【答案】

3．已知x>0, 函数的值恒大于1，则实数的取值范围是_____________

【难度】★★【答案】

4．函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____

【难度】★★【答案】

5．函数的图像与函数的图像关于_________对称，它们的交点坐标是______

【难度】★★【答案】.轴，

考点二、指数函数的图像及其应用

【例5】指数函数①②满足不等式，则它们的图象是 (　　)

【难度】★★【答案】C

【例6】(1)函数的图象一定过____________象限.

(2)函数的图象一定过定点，则点的坐标是_________.

(3)函数与___________的图象关于轴对称.

【难度】★★

【答案】(1) = ,它可以看作是指数函数 图象作关于 轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限.

(2) 的图象可以看作把 的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且 一定过点 ,则 应过点 .

(3)图象与 关于 轴对称的函数为 .

【例7】方程的实根的个数为_______________.

【难度】★★【答案】2

【例8】.比较下列各组数的大小:

(1)  和；(2) 和；(3) 和；(4) 和（，）；

(5)和；（6）和。

【难度】★★

【答案】(1) 在 上是减函数,又 ,故 <.

(2)= ,由 的单调性可得, >即 >.

(3)由 >1而 <1,可知 >.

(4)当 时, <,当 时, >.

(5)函数在R上是增函数，，>

(6)函数在R上是减函数，，<

【例9】已知函数，定义函数 给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是.

【难度】★★【答案】②③

【巩固训练】

1．曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是 (  ).

　A．　        　B．　

　C．　        　D．　

【难度】★★【答案】D

2．直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是     

【难度】★★【答案】

3．若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（  ）

 A．  B．

 C． D．

【难度】★★【答案】B

4.函数的图象恒过定点____________.

【难度】★★【答案】

5．当时，不等式恒成立，则的取值范围是．

【难度】★★【答案】

6．不等式的解集为，则实数的取值范围是．

【难度】★★【答案】

7．下列曲线中，可能是函数的部分图像是（   ）

【难度】★★★【答案】C

考点三、指数函数相关的复合函数问题

【例10】（1）函数的定义域为                              ，值域为    

（2）函数的定义域为                                      ，值域为    

（3）函数的定义域是；值域是.                               

（4）

（5）函数的定义域，值域；在区间                      上是增函数

（6）函数的定义域是，值域是                ．

【难度】★★

【答案】（1），；（2），；（3），；（4）；（5）R，（0，8〕，（-∞， 1〕；（6），

【例11】(1)函数的单调递增区间是_______________.

(2)函数（）的递增区间为___________，单调减区间为___________

【难度】★★

【答案】(1)令 ,显然当 时,由 是增函数,此函数是单调递增的.

（2）令，则，当时，，内层函数为减，外层函数为增，所以复合函数的减区间为；当时，，内层函数为减，外层函数为减，所以复合函数的增区间为

【例12】已知对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围

【难度】★★

【答案】原不等式化为在R上是减函数，

即

原不等式对任意恒成立，

解得：实数的取值范围是

【巩固训练】

1．已知，求函数的最值．

【难度】★★【答案】,

2．若函数的值域为，试确定的取值范围.

【难度】★★【答案】

3．函数在区间上有最大值14，则a的值为（）

A.3或-5        B. 3       C.          D. 3或

【难度】★★【答案】D

4．求下列函数的定义域、值域.

(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)

【难度】★★

【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3）；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)

[1，a)∪(a，+∞)

【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).

∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，∴ ，  ∴ ，

∴ ， ∴值域为(0，1).

(2)定义域为R，，∵ 2x>0，  ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).

(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.

(4)∵    ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，

又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).

5．若函数的定义域为，则的取值范围为．

【难度】★★

【答案】

6．已知函数的值域为，则的一个可能的解析式为．

【难度】★★

【答案】

7．单调增函数对任意满足，若恒成立，则的取值范围是（    ）

A、   B、

C、     D、

【难度】★★

【答案】B

8．设函数若，则的取值范围是（      ）

A．B．

C．          D．

【难度】★★

【答案】D

9．已知，求函数的最大值

【难度】★★

【答案】2

考点四、指数函数的综合运用

【例16】已知函数f(x)＝2x－，若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围

【难度】★★★

【答案】

【例17】已知函数；
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．

【难度】★★★

【答案】（1）（2）（3）

【例18】已知函数，其中为常数，且

（1）求证：

（2）试写出一个和的函数值满足的等式，使得第（1）题的结论是这个等式的一个特列，并证明它在和的公共区域R上恒成立；

（3）试任意写出一个和的函数值满足等式。

【难度】★★★

【答案】（1）略 （2）对于任意的，证明略，当时，（1）式中的等式一个特列；（3）①

②③

④

【例19】某公司投资兴建了甲、乙两个工厂，2001年公司从甲厂获得利润100万元，从乙厂获得利润400万元，以后每年上缴的利润甲厂一翻一番的速度递增，而乙厂则减为上一年的一半，试问：

（1）哪一年公司从这两个工厂获得的年总利润最少？

（2）哪一年开始，公司从这两个工厂获得的年利润超过50000万元？

【难度】★★

【答案】由题意知，经过年后，从甲厂获得的年利润为万元，从乙工厂获得利润为万元。

  故公司的年总利润为

（1）

当且仅当，即时，等号成立

经过1年（即2002年），公司从两家获得的年利润最少

（2）

又万元

所以经过9年，即从2010年开始，公司从两家工厂获得的年总利润超过50000万元。

【巩固训练】

1．设函数

（1）分别作出和的图像；

（2）求实数的取值范围，使得方程与都有且仅有两个实数解．

【难度】★★★【答案】（1）

（2）由图像可知，当时，有且仅有两个解；当时，有且仅有两个解，所以的范围是。

2．已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是.

【难度】★★★

【答案】

3．是定义在R上的奇函数，当时，

（1）求函数在上的解析式

（2）若方程在上有解，求的取值范围

【难度】★★

【答案】（1）（2）

反思总结

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．

（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如(且)函数的单调性；

（2）会根据(且)的单调性求形如，的值域；

（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。

课后练习

1．指数函数上的最大值与最小值的和为3，求

【难度】★

【答案】若的最大值与最小值分别为；（舍去）

若的最大值与最小值分别为，

综上：。

2．当时，下列不等式中正确的是（）

A．              B．

C．              D．

【难度】★★【答案】D

3．函数的定义域和值域分别为（ ）

A. ，          B.，

C. ，          D. ，

【难度】★★【答案】B

4．已知函数满足，且，则与的大小关系为（  ）

A.     B.     C.    D.

【难度】★★

【答案】A

5．已知，则x的取值范围是（ ）

A.    B.      C.    D. 

【难度】★★

【答案】C

6．方程的解为（  ）．

A.          B.         C.  1             D. 3

【难度】★★

【答案】A

8．求函数的单调区间及值域.

【难度】★★

【答案】上单增，在上单减.

9．判断下列各数的大小关系：

(1)1.8a与1.8a+1；             (2)

(3)22.5，(2.5)0，        (4)

【难度】★★

【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3）

（4）当a>1时，，当0<a<1时，

10．如果（，且），求的取值范围

【难度】★★

【答案】当时，；当时，

11．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是       

【难度】★★

【答案】

12．已知，求函数的值域

【难度】★★

【答案】，

而函数在区间上是增函数，

所以，函数的值域为

13．函数在上恒成立，则的取值范围是.

【难度】★★

【答案】

14．.函数的图像大致为(     ).

【难度】★★

【答案】A

15．设指数函数，则下列等式中不正确的是 （    ）

A．f(x+y)=f(x)·f(y)  B．

C． D．

【难度】★★

【答案】D

16．若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于        

【难度】★★

【答案】

17．函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数．下列命题：

①函数是单函数；

②指数函数是单函数；

③若为单函数，且，则；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；

⑤若为单函数，则函数在定义域上具有单调性．

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)

【难度】★★

【答案】②③④