专题02 集合初步（2）集合的运算-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）


专题02 集合初步（2）
集合的运算


知识梳理
一、交集运算
一般地，我们把属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A与B的交集，记作：
由定义可知，. 任意两个非空集合A、B的交集有以下四种情况：

任意两个非空集合A、B的交集具有以下性质：
1、
2、，
3、，即空集与任何集合的交集都是空集
4、
二、并集运算
一般地，我们把属于集合A或者属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A、B的并集，记作：
由定义可知，.任意两个非空集合A、B的并集有以下四种情况：

任意两个非空集合A、B的并集具有以下性质：
1、
2、,
3、，即空集与任何集合的并集都等于该集合
4、，
三、补集运算
一般地，设U是全集，，定义由属于U但不属于A的元素构成的集合叫A的补集，记作：
在维恩图中，我们以矩形表示全集，集合A的补集表示下图空白部分

补集的运算性质：
1、
2、
3、；；
四、 集合的运算律
1、交换律：；
2、结合律：；
3、分配律：；
4、德摩根定律：；
例题解析
一、有关交集的问题
【例1】（1）已知集合，，求；
【难度】★
【答案】
（2）已知集合，，求，并说明它的意义.
【难度】★
【解答】.
表示方程组的解的集合，也可以理解为两个一次函数图像的交点坐标的集合.
【说明】的元素是有序数对，而仍是集合，因此，不能写成.
【例2】（1）已知集合，，，求，.
【难度】★
【解答】∵，∴，.
【说明】与数的运算一样，集合的运算也是先算括号内，即先求.
（2）已知集合，，求.
【难度】★
【答案】，，.
【例3】（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知集合=,,则=。
【难度】★★
【答案】(1)[2,19]
(2)
(3)
【例4】已知集合，，求．
【难度】★★
【解答】对任意，则是有理数，同时满足：.又集合中元素小于6的仅有7个，他们是：．因此，．
【例5】已知集合，若，则实数的值是　　　．
【难度】★★
【答案】
【例6】已知集合，且M∩N={0，1}，则实数a的解集是（）
A.{0} B.{0，1} C.{1} D.
【难度】★★
【答案】A ∵M∩N={0，1}，即，∴a=0或a=±1，分别代入N中知a=±1不合题意，∴a=0。故选A。
【例7】已知集合，，求实数的取值范围.
【难度】★★
【解答】
【例8】已知集合,，且，求实数的值组成的集合．
【难度】★★
【解答】
【例9】设集合.若,求实数a,b所满足的条件。
【难度】★★
【答案】由题意得A={-3，6}，由，所以
从而
当，
，由-3是方程的根且，a=6,b=9
，同理可得a=-12，b=36
，a=-3,b=-18
建议利用韦达定理。
【例10】已知X是方程的实数解集，A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}.且X,则p+q= ．
【难度】★★
【答案】26
【例11】，，则 ．
【难度】★★
【答案】
【例12】已知，若，则实数的取值范围 ．
【难度】★★
【答案】


【例13】设集合，．
（1）若，且，求；
（2）若，且时，是否存在这样的实数，使得集合中仅有一个元素？若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明你的理由．
【难度】★★
【答案】⑴；⑵．
【例14】设m、n为自然数，m>n，集合A={1，2，3…，m}，集合B={1，2，3，…n}，满足的A的子集C共有___________个。
【难度】★★★
【答案】个
由A的子集为个，由不属于B的元素有{n+1，n+2，…m}，这m-n个元素构成的是个子集，因为，则C共有个。
【例15】已知A=,其中x,t均为实数
(1) 求；
(2) 设m为实数，求。
【难度】★★★
【答案】（1）集合A实际上是使得恒成立的所有实数t的集合，故令
解得-3 集合B实际上是使得方程有解的所有实数t的集合，故令
，解得或
所以A=（-3，-1），B=，那么
（2）
所以
【巩固训练】
1. 已知集合，则__。
【难度】★
【答案】
2．定义，若，，则　　　．
【难度】★
【答案】.
【解析】已知集合，，且，求实数的值组成的集合．
3．定义，若，，则　　　．
【难度】★
【答案】．
4．设，若，求所有满足条件的实数的集合。
【难度】★★
【答案】M={-1，3}
①当时，ax-1=0无解，∴a=0
②

综①②得：所求集合为{-1，0，}
5． ．
【难度】★★
【答案】
6．已知集合，，求．
【难度】★★
【解答】.
7．已知集合，，则与的关系是　　　．
【难度】★★
【答案】＝
8．已知集合，，则　　　．
【难度】★★
【答案】
9．已知集合，．
(1)若，求实数的值；
(2) 若，求实数的取值范围．
【难度】★★
【解答】(1)∵，∴，即，解得.
经检验都符合题意，∴所求实数的值是．
(2)∵，∴，即，对此逐一验证，当且仅当时符合题意．∴，解得．
∴所求实数的取值范围是．
10．已知非空集合，则＝＿＿＿。
【难度】★★★
【答案】
11．已知集合，当时，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【解答】把集合在数轴上表示出来，又，结合下图知，
有 ①或 ②或 ③
3
A
B
B

解(Ⅰ)得，解（Ⅱ）得，解（Ⅲ）得．
因此，所求实数的取值范围是．
二、有关并集的问题
【例16】已知集合，求.
【难度】★
【解答】由题可知，.因此，.
【例17】，求，.
【难度】★
【解答】，.
【例18】已知集合，，，求，，，并比较三者的关系.
【难度】★
【答案】,
,
.
三者的关系是：=.
【例19】集合 集合，则= ；=_______．
【难度】★
【答案】,.
【例20】已知集合，若，则满足条件的实数的个数是（）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【难度】★★
【答案】(C)
【例21】已知集合，．若，求实数的取值范围．
【难度】★★
【解答】∵，∴，即，对此逐一验证，当且仅当时符合题意．∴，解得．
∴所求实数的取值范围是．
【例22】若集合，，且A∩B={2，5}，则A∪B=___________。
【难度】★★★
【答案】由已知A={2，4，5}，对于B：若y+3=2时y=-1，此时B={-4，2，5，4}与A∩B={2，5}矛盾
若，∴y=0或y=2
当y=0时，B={-4，3，2，7}（舍）；当y=2时，B={-4，5，2，25}
∴A∪B={-4，2，4，5，25}
同样时（舍）
∴A∪B={-4，2，4，5，25}
【例23】已知三个关于的方程：
中至少有一个方程有实数根，求的取值范围
【难度】★★★
【答案】或
【巩固训练】
1．已知集合，，则　　．
【难度】★
【答案】.

2．已知集合，则.
【难度】★
【答案】
3．已知集合，，则与的关系是　　　．
【难度】★
【答案】＝.
4．已知,或, 若,求的取值范围.
【难度】★
【答案】, ∴. ∴或，或
∴若,则的取值范围是.
5．已知非空集合，，若，求实数的取值范围.
【难度】★★
【解答】∵，又，∴，即.
∴,解得，.
∴所求实数的取值范围是.
6.设．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【难度】★★
【答案】化简集合A，得A＝{－4,0}．
(1)由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4.
①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1.
②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，
得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1，
当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意；
当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也符合题意．
③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，
得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1，
当a＝1时，②中已讨论，符合题意；
当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意．
综合①②③得a＝1或a≤－1.
(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，又A＝{－4,0}，
而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，
因此应有A＝B.由(1)知，a＝1.
7．若非空集合，则使得成立的所有的集合是
（A）
（B）
（C）
（D）空集
【难度】★★
【答案】B
8．设，，则________
【难度】★★
【答案】-5
9．若；
（1）当时，求的值；（2）当，求的值
【难度】★★
【答案】（1）当
　　　　（2），依题义得
　　　

三、有关补集的问题
【例24】设，分别写出,
,,并指出他们之间哪些集合具有相等关系.
【难度】★
【解答】∵，
∴，，，.
∴，，，
.
相等的集合有：；.
【例25】已知全集，，写出.
【难度】★
【解答】∵,∴，.
【例26】设，，，求集合A和集合B
【难度】★★
【答案】显然I={1,2,3,4,5,6,7,8}，因为，由集合运算律的德摩根定律
，同理，
由文氏图可知，A={3,4,7}，B={2，4，8}

【例27】已知全集，A={1,}，如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。
【难度】★★
【答案】∵；
∴，即＝0，解得
当时，，，与元素互异性矛盾；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
∴这样的实数x存在，是或。
【例28】已知全集，，，且，求实数的取值范围.
【难度】★★
【解答】根据题意，可得．又，
因此，解得.
于是，所求实数的取值范围是．
【例29】已知全集，,,则＝　　　　．
【难度】★★
【解答】．
【例30】已知全集，若，求的值.
【难度】★★
【解答】,∴.
又，∴.
当时，可得；
当时，经验算，不合题意；
当时，可得.
∴综上可得，所求实数的值是1和2.

【例31】已知全集，若，求集合．
【难度】★★★
【解答】.
【例32】集合A、B、C满足，
(1)B=C ； (2)；(3)；(4)
以上成立的是 ．
【难度】★★
【解答】(2)
【巩固训练】
1．已知全集，，则.
【难度】★
【答案】
2．已知全集，，，
，求集合.
【难度】★★
【解答】由题意知，.
∵，∴.
∵，，∴，.
∵,∴,.
3．已知全集，，，求，，，并比较哪些集合具有相等关系.
【难度】★
【解答】∵，，
∴,.
∴,,
.
相等的集合有：，.
4．已知全集，定义，若，，则　　．
【难度】★★
【解答】由题意可知，，所以，.
5．若A={(x,y)|x>0,y∈R},B={(x,y)|x∈R,y>0}，则A∪B=______________．
【难度】★★
【解答】
6．已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是．
【难度】★★
【答案】
7．
（1），求的取值范围；
（2），求的取值范围．
【难度】★★【答案】，
8．设集合，,求实数m的取值范围。
【难度】★★
【答案】（解法一）：据题意得方程至少有一个负实数根。
两根必一正一负

（解法二）设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（解法三）补集的思想
四、集合运算的综合应用
【例33】某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；
（2）不乘电车的人数；
（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；
（5）只乘一种车的人数。
【答案】本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。
设只乘电车的人数为x人
不乘电车的人数为y人
乘车的人数为z人
不乘车的人数为u人
只乘一种车的人数为v人
如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。

【例34】设U={1，2，3，4，5}，且AU，BU，A∩B={2}，，，则下列结论正确的是（）
A.3∈A，3∈B B.C.3∈A， D.
【难度】★★
【答案】C 由A可知，3∈A∩B，与题设A∩B={2}矛盾；由B应有，与题设矛盾；由D应有，与题设矛盾。故选C。
本题也可运用文氏图解答。由图易知，3∈A，。故选C。
【例35】图中阴影部分所表示的集合是（）．
A. B.
C. D.




【难度】★★
【答案】A
【例36】设集合，且M，N都是集合的子集，如果把称为集合的“长度”，求集合M∩N的“长度“的最小值．
【难度】★★
【答案】
【例37】已知集合,,其中,.
若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B．
【难度】★★
【答案】
【例38】对于非空实数集，记．设非空实数集合． 现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合，必有；
③对于任意给定符合题设条件的集合，必有；
④对于任意给定符合题设条件的集合，必存在常数，使得对任意的，恒有，
其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）
【难度】★★★
【答案】①④
【例39】已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于；
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：且；
（3）当时，若，求集合．
【难度】★★★
【答案】（1）不具有性质，具有性质；
（2）当时，，则，∴；、、…、分别对应、、
…、，∴，即；
（3）；
【巩固训练】
1．已知全集U＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（）
A．U＝A∪B B．U＝（A）∪B
C．U＝A∪（B ） D．U＝（A）∪（B）
【难度】★★
【答案】C
2．A、B、C为三个集合，，则一定有（）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
【难度】★★
【答案】，，由题意得选A
实际上，由可以推出，即A是B的子集，而B是C的子集。

3．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【难度】★★
【答案】赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

4．下列表述中错误的是（ ）．
A． 若 B．若
C． D．
【难度】★★
【答案】C
5．如图所示，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R,A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A#B为 (　　 )
A．{x|0 C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|x=0或x>2}

【难度】★★
【答案】D
6．,是的子集，若,称为理想配集，则所有理想配集的个数 ．
【难度】★★
【答案】27
7．则= _____ ．
【难度】★★
【答案】-1或5
8．集合，，满足求实数的值．
【难度】★★★
【答案】，，而，则至少有一个元素在中，
又，∴，，即，得
而矛盾，∴
9．设集合，其中是五个不同的正整数，，若中所有元素的和为，则满足条件的集合的个数为。
【难度】★★★
【答案】
【解析】，所以。由于中有，因此中有。若，则，于是，无正整数解。若，由于，所以，于是。又因为，当时，；当时，，因此满足条件的共有个，分别为

反思总结
本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．
课后练习
1．已知全集，，且，求实数的取值范围是.
【难度】★
【答案】.
2．已知全集，，则.
【难度】★
【答案】．
3．已知全集，，，则=　　　．
【难度】★
【答案】.
4．已知集合，集合，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】A
5．已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，则CUA＝________.
【难度】★★
【答案】{0}
【解析】因为A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．
6．已知集合，，若，求实数的取值范围
【难度】★★
【答案】

7．已知集合，集合非空，若，则的取值范围是；
【难度】★★
【答案】
8．已知全集中共有个元素，中有个元素，且非空，求集合的元素个数．
【难度】★★
【解答】∵,,∴集合的元素个数有个.
9．已知全集，定义，若，则　　　．
【难度】★★
【解答】．
10．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a 【难度】★★
【答案】(－∞，－1]
【解析】因为C∩A＝C，所以C⊆A.
①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－；
②当C≠∅时，要使C⊆A，则解得－ 综上，a的取值范围是(－∞，－1]．
11．从集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有或那么共有__________________种不同的选法.
【难度】★★★
【答案】36

12．设集合，、、…、都是M的含有两个元素的子集，且满足对任意的， 且，都有表示x、y中较小，则k的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【难度】★★★
【答案】B
13．设集合，
（1）若，求m的范围；
（2）若，求m的范围。
【难度】★★
【答案】若，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2
当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2
当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4
当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ
综上所述，可知m<2，或m>4
（2）若，则BA，
若B＝Φ，得m<2
若B ≠ Φ，则，得：
综上，得 m ≤ 3
14．设,其中,如果，求实数的取值范围。
【难度】★★
【答案】由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴。
15．设全集，，

【难度】★★
【答案】当时，，即；当时，即，且
∴，∴，而对于，即，∴
∴
16．若集合满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆；
(1)集合的不同分拆种数为多少？
(2)集合的不同分拆种数为多少？
(3)由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？(不必证明)
【难度】★★★
【答案】(1)A1＝f时,A2=A,此时只有1种分拆；
A1为单元素集时, A2=CUA1或A,此时A1有二种情况,故拆法为4种；
当A1为A时, A2可取A的任何子集,此时A2有4种情况,故拆法为4种；总之,共9种拆法
(2)A1＝f时,A2=A,此时只有1种分拆；
A1为单元素集时, A2=CUA1或A,此时A1有三种情况,故拆法为6种；
A1为双元素集时,例如A1={a,b},A2={c},{a,c},{b,c},{a,b,c},A1有三种情况,拆法为12种;
当A1为A时, A2可取A的任何子集,此时A2有8种情况,故拆法为8种；总之,共27种拆法
(3) 集合A={a1,a2,a3,…,an}的不同分拆种数为3n