【数学】广东省梅县高级中学、大埔县虎山中学2019-2020学年高二12月联考试题
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高二12月联考试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积( )
A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍
C．不变 D．缩小到原来的
2．在空间四边形中，为CD的中点，则( ).
A. B. C. D.
3.如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中( )
A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC
4．在△中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3) B． 恒过点(－2,3)和点(2,3)
C．恒过定点(2,3) D．都是平行直线
6．已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A． x2+y2=2 B．x2+y2=4 C．x2+y2=2(x≠±2) D．x2+y2=4(x≠±2)
7．过点且与有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B. C． D.
8．若ab≠0，则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
9.椭圆的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则PF1F2的面积为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.12
10. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
11.直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么实数k的取值范围是（ ）
A． k≥1 B．k≤－1 C．－1≤k≤1且k≠0 D．k≤－1或k≥1
12． 已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为( )
A．2 B．3 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．命题，则为 。
14．抛物线的的方程为，则抛物线的焦点坐标为____________
15．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________．
16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线。
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
③双曲线与椭圆有相同的焦点。
④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切
其中真命题为 （写出所以真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1,3)
和点B(5,2)的距离相等，求直线l的方程．
18．（本题满分12分）已知a,b,c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且
⑴ 求C的值
⑵ 若，求△ABC的面积.
19.（本题满分12分）如图6，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD，DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF//平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
20.（本小题满分12分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．
(1)当|PF|＝2时，求点P的坐标；
(2)求点P到直线y＝x-10的距离的最小值．
21．（本题满分12分）在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E-AC-D的正切值；
22．（本题满分12分）已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．
① 若直线平分线段，求的值；
② 对任意，求证：．
参考答案
一、选择题:1-12、AACBA DACBD CB
二、填空题：13. 14.（，0） 15. 16. ②③④
17．解： 由得交点为(3，－1)，………3分
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，………4分
则＝，………5分
解得k＝－，……… 7分
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋4y＋1＝0；………8分
又当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，也满足题意．………9分
故x＋4y＋1＝0或x＝3为所求．………10分
18．解:⑴因为、为△ABC的内角，由csinA=acosC 知sinA≠0，cosC≠0 ，…1分
由正弦定理可得：,………3分
所以 , ………4分
因为, 所以.………5分
⑵ 由c=2a结合正弦定理得sinA= sinC=，………7分
因为a＜c,所以A＜C,所以cosA==,………8分
所以
=,………10分
由正弦定理得：，………11分
所以△ABC的面积.………12分
19.【证明】 (1)因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB//DE.………1分
取CE的中点G，连接BG，GF，因为F为CD的中点，
所以GF//E//BA，………2分
GF＝ED＝BA，………3分
从而ABGF是平行四边形，于是AF//BG.………4分
因为AF 平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE.………5分
(2)因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，所以AB⊥AF，………6分
即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.………7分
又AC＝AD，所以AF⊥CD. ………8分
而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.………10分
因为AF//BG，所以BG⊥平面CDE.………11分
因为BG 平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.………12分
20.解：(1)依题意可设P(a>0)，易知F(0，1)，………2分
因为|PF|＝2，结合抛物线的定义得＋1＝2，即a＝2，………4分
所以点P的坐标为(2，1)．………5分
(2)设点P的坐标为(a>0)，………6分
则点P到直线y＝x-10的距离d＝＝.………8分
因为-a＋10＝(a-2)2＋9，………10分
所以当a＝2时，-a＋10取得最小值9，………11分
故点P到直线y＝x-10的距离的最小值dmin＝＝.………12分
21．解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，………1分
四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC， 所以BC⊥平面SAB，………3分
又SA⊂平面SAB， 所以BC⊥SA， ………4分
又SA⊥AB， 所以SA⊥平面ABCD，……………………5分
(2) 在AD上取一点O，使，连接EO． ………6分
因为，所以EO∥SA 所以EO⊥平面ABCD， ………7分
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH． ………8分
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，．………9分
在Rt△AHO中，，，………10分
即二面角E-AC-D的正切值为．……………………12分
解法二：(1)同方法一 ………………………………5分
(2)如图，以A为原点建立直角坐标系， A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E ………7分
易知平面ACD的法向为………8分
设平面EAC的法向量为，
由所以，可取 ………10分
所以 所以………11分
即二面角E-AC-D的正切值为． ………………………………12分
22．解：（1）在直线中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
由题意得c=b=1， ∴，则椭圆方程为． …………3分
（2）①由，，的中点坐标为，
所以． ………………………………6分
②解法一：将直线PA方程代入，解得，
记，则，于是，
故直线的方程为，
代入椭圆方程得，由，
因此， ………………………………………………9分
∴， ，
∴，∴，故．……12分
解法二：由题意设，，，则，
∵三点共线， ∴，……………………………………8分
又因为点在椭圆上， ∴，
两式相减得：，……………………………………………10分
∴，
∴． ……………………………………………………12分
