【数学】甘肃省武威市第六中学2019-2020学年高二上学期第二次学段考试考试（理）
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高二上学期第二次学段考试考试（理）
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．）
1．命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线,在上取3个点,上取2个点,由这5个点能确定平面的个数为（ ）
A.1 B.4 C.5 D.9
3．命题“∃x0∈（0，+∞）,lnx0＝x0+1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0+1 B．∀x∉（0，+∞），lnx≠x+1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x+1 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0≠x0+1
4．知,则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若<1，则x>1，那么在
下列四个命题中，真命题是（ ）
A．（￢p）∨q B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）
6．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B．8 C． D．
8．如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.则以下命题中,错误的命题是（ ）
A.点H是△A1BD的垂心 B.AH垂直平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成角为45°
9．设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是（ ）
A．比大约多一半； B．比大约多一倍半
C．比大约多一倍； D．比大约多两倍半；
10．用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.
其中真命题的序号是（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
11.已知直线的斜率为2, 、是直线与双曲线C:,的两个交点,
设、的中点为（2,1）,则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
12．设集合U＝，A＝，B＝{（x，y）｜x＋y－n≤0}， 那么点的充要条件是（ ）
A．m<－1，n<5 B．m>－1，n<5 C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．下列说法正确的序号是___.
①经过三点时以确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
14．若命题“∃x∈[0，3]，使得x2﹣ax+3＜0成立”是假命题，则实数a的取值范围是 ．
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________.
16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为,两条曲线在第一象限的交点为P,Δ是以为底边的等腰三角形.若,椭圆与双曲线的离心率分别为则的取值范围是__________.
三、解答题：（本大题共6小题，共计70分）请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（本题10分）已知p:x2-2x+2≥m的解集为R;q:函数f（x）=-（7-3m）x是减函数.若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
18．（本题12分）如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.
已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:
（1）三棱锥P-ABC的体积;
（2）异面直线BC与AD所成的角的余弦值。
19．（本题12分）已知抛物线C的方程C：过点.
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，点是棱的中点，点为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
21．（本题12分）在如图所示的多面体中,已知是正三角形,
是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
22．（本题12分）已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值.
参考答案
一. 选择题：
- D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.C 8.D 9.B 10. B 11.A 12.B
二.填空题：
13.②③ 14.a 15.线段B1C 16.
三.解答题：
17.若命题p为真命题,由x2-2x+2=(x-1)2+1≥m,可知m≤1;
若命题q为真命题,则7-3m>1,即m<2.
命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真,
即或,所以1<m<2
故实数m的取值范围是(1,2).
18.(1)S△ABC=×2×2=2,
三棱锥P-ABC的体积为
V=S△ABC×PA=×2×2=.
(2)取PB的中点E,连接DE、AE,则
ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
cos ∠ADE==因此,异面直线BC与AD所成的角的余弦值是.
在中, 所以
19.（Ⅰ）将代入，得.
故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.
（Ⅱ），直线OA的方程为.
假设存在符合题意的直线 ，其方程为.
由，得.
因为直线与抛物线C有公共点，所以得，解得.
另一方面，由直线OA与的距离，可得，解得.
因为，所以符合题意的直线 存在，其方程为.
20.
21.(1)如图,取的中点,连接,因为的中点,所以MF∥,又AF∥DE,所以MF∥,四边形为平行四边形.
所以,因为平面平面,所以平面
(2)因为是正三角形,所以,在中,,所以,故,又所以平面取的中点,连接,则,又,所以,又,所以平面,所以是直线与平面所成的角．在中, 所以
22.(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
因为，根据椭圆的性质得，所以
又因为点在椭圆上，所以解得
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)由题意可知，四边形为平行四边形，所以=4
设直线的方程为，且，
由代入化简可得，
由根与系数的关系可得：，
因为=+，所以==
==
令，则，==，
又因为在上单调递增，所以，
所以的最大值为,所以的最大值为6.
