【数学】广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题 (1)

广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一．填空题（每小题5分，共12小题，满分60分，每题只有一个正确答案）

1．设集合，，则等于（     ）

A． B． C． D．

2．在等差数列{an}中，（     ）

A．12               B．14               C．16               D．18

3．在中，若，则角等于（     ）

A．             B．             C．或       D．或

4．已知数列满足 ，则（　　）

A.            B.              C.2              D.3

5．设， ， ，则， ， 的大小关系是（     ）

A．       B．          C．       D．

6．已知向量，，且，则的值是（     ）

A．3 B． C． D．

7．己知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（     ）

A． B．

C． D．

8．如图是某学生在高三的五次月考考试成绩的分数茎叶统计图，该组数的平均数为，若从中任取2个数，则这2个数都大于的概率为（     ）

A．  B． C． D．

9．在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则（     ）

A．            B． 

C．           D．

10．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（     ）

A.m       B.20 m      C.m      D.40 m

11．在中，角的对边分别是，若，则的值为（     ）

A．1 B． C． D．

12.“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是 （     ）

2017    2016    2015        5    4    3    2    1

 4033     4031        9    7    5    3
8064        16    12    8
    28    20

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为______．

14.如果三个数,,成等差数列,则x=_______．

15.将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质____    __．（填入所有正确性质的序号）
①最大值为，图象关于直线x=-对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为π；
④图象关于点（，0）对称；⑤在（0，）上单调递减．

16．点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值为2，则的值为______．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.（满分10分）我校举行知识竞赛答题，高二年级共有1200名学生参加了这次竞赛.为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计.其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：

（1）求的值；

（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人；

（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）.

18．（满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

（1）求cosC的值；

（2）若c=，求△ABC的面积．

19. （满分12分）

已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.

（1）求角C的大小；

（2）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积.

20. （满分分）

在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，

∠ABC=∠DCB=60，E是PC上一点.

（1）证明：平面EAB⊥平面PAC；

（2）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，

求三棱锥A−EBC的体积.

21．（满分12分）如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.

（1）若，，求；

（2）已知，记四边形的面积为，求的最大值.

22．（满分12分）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点. 以原点为圆心的圆与线段都相切.

（1）求圆的方程及的值；

（2）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

4.本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，属于基础题.

5．【解析】由单调增加，

由单调减知，则，

由单调增加，

∵， ， ．∴．故选．

6．【解析】因为，故即即，

所以，故选C．

7．【解析】∵函数图象经过点 ，∴函数的最大值为1，可得

又∵函数的周期

可得 因此函数解析式为： 再将点代入，得：

解之得 ，∴取

所 的解析式是 故选D

8．由茎叶图，这组数的平均数为：87.4

据此可得：满足题意的概率为：.本题选择A选项.

9．∵，，，

∴，

则，

则，故选D．

10.【详解】

由题意，设，则，

在中，由余弦定理，得．

化简得解得．即AB=40 m．故选D．

11．∵，

∴由正弦定理可得，即.

由于，∴.∵，

∴.又，

由余弦定理可得，∴.故选C.

二、12解：由已知：数表的每一行从右至左都是一个等差数列,
第一行公差是1,第二行公差是2,第三行公差是4,依次类推,第2015行公差为,
所以第一行第一个数是,第二行第一个数为,第三行第一个数为,
依次类推,第n行第一个数为,第2017行只有一个数,为,
故选B．
填空题

13.         14.4     15.②③④．          16．

14.解：等差数列,,,,
,
,
又,

15【解：将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，
得到y=cos[2（x+）+]-1=cos（2x+π）-1=-cos2x-1的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）=-cos2x 的图象．
对于函数g（x）：
它的最大值为，由于当x=-时，g（x）=，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=-对称，故排除①；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；
它的最小正周期为=π，故③正确；
当x=时，g（x）=0，故函数的图象关于点（，0）对称，故④正确；
在（0，）上，2x∈（0，），g（x）不是单调函数，故排除⑤，

三、解答题

17.（满分10分）

解：（1）由. …2分

解得 . …3分

（2）学生成绩在之间的频率为0.05，. …4分

故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为人. …5分

（3）平均分的估计值为：分. …8分

18．（满分12分）

（1）△ABC中，∵，∴sinB==………………2分

∴………………4分

=．  …………………6分

（2）由（Ⅰ）知 …………………8分

由正弦定理知：，∴，…………………10分

∴．       …………………12分

19.解: (1)法一：由已知及余弦定理得，整理得. …2分

，   ………………3分

又在△ABC中，0＜C＜，       ………………4分

∴，即角C的大小为.   .………………5分

法二：由已知及正弦定理得，

又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分

 ∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC，  

即2sinBcosC= – sinB，又sinB≠0，           ………………3分

∴，又0＜C＜，                ………………4分

∴，即角C的大小为.            .………………5分

(2)由(1)，在△ADC中，AC=b=，AD=，

由正弦定理得，           .………………7分

∵在△ADC中，0＜＜，C为钝角，              ........………....………8分

∴，故.                    .………………9分

∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴,             .……….……10分

∴△ABC是等腰三角形，.                      .………………11分

故△ABC的面积.    .…………….…12分

20.解：(1)证明：依题意得四边形ABCD是底角为60的等腰梯形，………1分

∴∠BAD=∠ADC=120.                   .…………........……2分

∵ AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30，       .……………….........3分

∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=120−30=90，即AB⊥AC.…...........…4分

∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴AB⊥平面PAC，             ..........................………………...5分

又平面AB平面EAB，

∴平面EAB⊥平面PAC；         ..........................……………...6分

(2)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60，AB=1，

∴AC= AB∙tan60=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，.........……………7分

∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△PAC的边长为.    ...……………8分

∵E是PC的中点，∴S△EAC＝S△PAC＝

.   ………10分

∴三棱锥A−EBC的体积为

...……………12分

(2)解法二：过P作PO⊥AC于点O，

∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴PO⊥平面ABC，          

过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，

∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF，   ………7分

又E是PC中点，∴ EF是△POC的中位线，故.

由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60，AB=1，

∴BC=2AB=2, AC= AB∙tan60=, 即正△PAC的边长为,  ....…8分

∴PO=, 故EF=.             .............................................….........9分

在Rt△ABC中，S△ABC＝.    ……….........…10分

∴三棱锥A−EBC的体积为. ...........12分

21．（1）在中，，，

由余弦定理得：………….2分

在中，，，

由余弦定理得：……….4分

即：，解得：……….5分

（2）在和中，由余弦定理得：

整理可得：……………….7分

面积：………8分

即：

………10分

即：………11分

当时，

四边形面积的最大值为：………12分

22．（1）由于圆与线段相切，所以半径.……………….1分

即圆的方程为.……………….2分

又由题与线段相切，

所以线段方程为.即.……………….3分

故直线的方程为.

由直线和圆相切可得：，

解得或.由于为不同的点，所以. ……………….5分

（2）设.

则，.……………….6分

若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，

都有为常数,

等价于对圆上任意点恒成立.

即.

整理得.……….7分

因为点在直线上，所以.

由于在圆上，所以.……………….8分

故对任意恒成立.…………9分

所以.……………….10分

显然，所以故，

因为，解得或.……………….11分

当时，，此时重合，舍去.

当时，，

综上，存在满足条件的定点，此时.……………….12分