广东省深圳市第二高级中学2019-2020学年高一下学期第四学段考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com深圳市第二高级中学2019-2020学年度第四学段考试

高一数学试卷

时间：120分钟  满分：150分

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1.已知平面向量，，则向量等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算可得.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

故选A

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,属于基础题.

2.设向量，，若，则实数（    ）

A. 2或－4 B. 2 C. 或 D. －4

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出，由，则可求出参数的值.

【详解】向量，，则.

 又，所以

又，即，解得或.

故选：A

【点睛】本题考查向量的减法运算和利用向量垂直其数量积为零求参数的值，属于基础题.

3.在中，，，，则（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接用正弦定理直接求解边.

【详解】在中，，，

由余弦定理有：,即

故选：D

【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.

4.如下图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为(　　)

A.  B.  C. 10 D. 不能估计

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知中的矩形长为，宽为，计算得到矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，根据阴影部分的面积与矩形的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，得到方程，即可求解．

【详解】由已知中的矩形长为，宽为，则到矩形的面积为，

利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.

【点睛】本题主要考查了几何概型与随机模拟实验的应用，利用阴影部分的面积与矩形的面积的比例约为黄豆落在阴影部分的频率，构成关于阴影部分的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

5.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.

【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.

故选：C

【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.

6.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为(    )

A. 相交、平行或异面 B. 相交或平行

C. 异面 D. 平行或异面

【答案】A

【解析】

【分析】

根据异面直线的定义可得直线，的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．

【详解】因为，是异面直线，，是异面直线，

则，的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．

如下图所示，满足题意的条件，图①中，相交，图②中，平行，图③中，是异面直线.

故选：A．

【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属于基础题．

7.关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是（   ）

A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出和，将点的坐标代入回归直线方程，求得实数的值，然后将代入回归直线方程可求得结果.

【详解】由表格中的数据可得，，

由于回归直线过样本中心点，则，解得，

所以，回归直线方程为，当时，.

因此，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是万元.

故选：C.

【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点”的应用，考查计算能力，属于基础题.

8.设非零向量，满足，则（    ）

A.  B.  C. // D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据与的几何意义可以判断.

【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.

9.在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4

可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，cosC=,选D

10.设是直线，，是两个不同的平面(    )

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.

【详解】由是直线，，是两个不同的平面，可知：

A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误；

B选项中，若，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知，正确；

C选项中，若，，由面面垂直、线面垂直的性质可知或，错误；

D选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.

11.在△中，为边上的中线，为的中点，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

详解：根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

12.设的内角，，的对边分别是，，．已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正弦定理把角化边，可得，进一步得到，然后根据余弦定理，可得，最后可得结果.

【详解】在中，

由

所以①，又②

由①②可知：

又③

把①代入③化简可得：

则

故选：D

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将用表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属中档题.

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知向量，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

14.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为________.

【答案】

【解析】

分析】

设圆柱的底面半径为，可知该圆柱的高为，计算出圆柱的体积，可求得的值，进而可求得圆柱的侧面积.

【详解】设圆柱的底面半径为，由于该圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱的高为，

所以，圆柱的体积为，解得.

因此，该圆柱的侧面积为.

故答案为：.

【点睛】本题考查圆柱侧面积计算，同时也考查了圆柱的体积的计算，考查计算能力，属于基础题.

15.若向量，则向量与的夹角等于________．

【答案】

【解析】

∵，

∴•=0，

即=2，

∴cos＜，＞==，

即向量与的夹角为，

故答案为

16.在四面体中，，.球是四面体的外接球，过点作球的截面，若最大的截面面积为，则四面体的体积是______.

【答案】

【解析】

【分析】

将四面体补成一个长方体，过点A的最大截面面积为大圆面积可求出外接球的半径，代入长方体的外接球的直径计算公式()求出长方体的高，用长方体的体积减去三个相同的三棱锥的体积即为所求。

【详解】如图，因为，，

所以该长方体长和宽都是4，设该长方体的高为，

球的半径为，则，因为过点作球的截面，最大的截面面积为，所以，

则，故四面体的体积是.

故答案为：

【点睛】本题考查简单几何体的外接球，球的截面，属于中档题.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的须率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第三小组的频数是15.

（1）求成绩在50-70分的频率是多少

（2）求这三个年级参赛学生的总人数是多少：

（3）求成绩在80-100分的学生人数是多少

【答案】（1）（2）100（人）（3）15（人）

【解析】

【分析】

（1）在频率分布直方图中频率=高度宽度；

（2）频数频率=总数；

（3）频率分布直方图中频率=高度宽度，人数=频率总数.

【详解】（1）成绩在50-70分的频率为：.

（2）第三小组的频率为：.

这三个年级参赛学生的总人数（总数=频数/频率）为：（人）

（3）成绩在80-100分的频率为：

则成绩在80-100分的人数为：（人）.

【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题.

18.某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表（单位：人）

（1）求和；

（2）若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．

【答案】（1）， （2）．

【解析】

【分析】

（1）求出男生的数量，由抽样比相同，可得的值；

（2）分别求出从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件数，从3名男生选中的2人都是男生的事件数，可得抽出2人都是男生的概率.

【详解】解：（1）由题意可得，，又，所以；

（2）记从女生中抽取的2人为，，从男生中抽取的3人为，，，

则从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件有

，，，，，

，，，，共10种．

设选中的2人都是男生的事件为，

则包含的基本事件有，，共3种．

因此．

故2人都是男生的概率为．

【点睛】本题主要考查分层抽样及由古典概率公式计算概率，相对不难.

19.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.

(1)若,求的值;

(2)若,求b,c的值.

【答案】(1);(2)

【解析】

【分析】

(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；

(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.

【详解】(1)∵,且，

∴，

由正弦定理得，

∴；

(2)∵，

∴，

∴，

由余弦定理得，

∴.

【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.

20.如图，四棱锥中，底面是正方形，底面.

（1）求证： 平面；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明过程见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）要证线面垂直先证线线垂直，根据题意可证，，由线面垂直的判定定理即可证明.

（2）将点到面的距离问题转化为求三棱锥的高的问题，利用等体积法即可得到答案.

【详解】（1）因为底面是正方形，所以,

因为底面，所以,

又因为，所以平面.

（2）设点到平面的距离为

因为底面，所以，

又,，所以平面，

所以,由已知得

所以三角形的面积为：，

所以

依题为三棱锥的高，所以三棱锥的体积为：

,

又因为，所以，解得

所以点到平面的距离为点

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及用等体积法求点到面的距离，属中档题.

21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；

（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.

【答案】（1）60°； （2）； （3）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得，结合范围B∈（0，π），可求；
（Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围，利用正弦函数的有界性即可求解．

【详解】（Ⅰ）由.，得，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .

（Ⅲ）由题意得 .

因为0＜A＜，

所以.

故所求的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．

22.如图，已知四棱柱的底面是平行四边形，平面，是的中点，是的中点．

(1)求证：；

(2)若平面，求证：.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）取BC中点E，连结ME、NE，由已知推导出平面PAB∥平面MNE，由此能证明MN∥平面PAB．

（2）利用面面垂直的性质，由平面PMC⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，可证CM⊥平面PAD，由AD⊂平面PAD，即可证明CM⊥AD

试题解析：（1）取PB的中点E，连接EA，EN，

在△PBC中，EN//BC且，

又，AD//BC，AD＝BC

所以EN//AM，，EN＝AM. 

所以四边形ENMA是平行四边形，                   

所以MN//AE. 又，，

所以MN//平面PAB.                                

（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，

因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，

所以AH⊥平面PMC，又

所以AH⊥CM.                         

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CM.

因为PA∩AH＝A，

所以CM⊥平面PAD.

又所以CM⊥AD.

考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定