【数学】广东省蕉岭县蕉岭中学2019-2020学年高二上学期第一次段考 试卷

广东省蕉岭县蕉岭中学2019-2020学年

高二上学期第一次段考

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）

1．设全集，集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2．函数的单调递增区间是（    ）

A.         B.            C.        D.

3．设， ，，则的大小顺序为（    ）

A.         B.          C.          D.

4．已知是数列的前项和，，则（    ）

A．256    B．512  C．1024  D．2048

5．在中，，则的形状是 (      )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

6．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

7．若，，，，则等于（　　）

A． B． C． D．

8. 下列函数中，最小值是2的是（   ）

A. B. C. D.

9．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

则下列判断中不正确的是（    ）

A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

10．过点的直线与函数的图象交于，两点，为坐标原点，则（    ）

A． B． C．10 D．20

11．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

12.若函数,函数,则关于函数的零点,下列判断不正确的是（  ）

  A.若有一个零点                 B.若有两个零点

  C.若有三个零点                 D.若有四个零点

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13．已知数列满足，若，则数列的通项_______.

14．若，满足约束条件，则的最大值为_____________．

15．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_______.

16．如图1，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，且平面平面，点为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列说法正确的有_____________．

①．直线与直线必不在同一平面上

②．存在点使得直线平面

③．存在点使得直线与平面平行

④．存在点使得直线与直线垂直

三、解答题（本大题共6 小题，共70分）

17.（本小题满分10分）

若数列的前项和满足.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前项和.

18、（本小题满分12分）

  在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．

（I）求角的大小；   （II）若，求面积的最大值．

19、(本小题满分12分)

某市举行数学竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)估计这次考试的及格率(分及以上为及格)和平均分；

(3)从成绩是的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

20、(本小题满分12分)

如图，在四面体中，平面平面，，，分别为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）求二面角的大小．

21．(本小题满分12分)

已知函数，不等式的解集为．　

(1) 求函数的解析式；

(2) 已知函数在上单调增，求实数的取值范围；

 (3) 若对于任意的，都成立，求实数 的最大值．

22. (本小题满分12分)

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．

(1)求圆的方程；

(2)设直线ax－y＋5＝0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)？

若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：1-12、ADDAB   CCBBD   CD

二、 13、     14. 6      15、 2       16 、①③         

三、解答题：17. 解：(1) 当时，，解得……1分

当时，由题意， 

，即……3分

所以，即 

数列是首项为，公比为2的等比数列……6分

(2)由（1），，所以……7分

……8分

……10分

18. 19、解：(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率为：

1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3  ………………………………2分            

其频率分布直方图如图所示．

………………………………………………3分

(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.所以，估计这次考试的合格率是75%.……………………………4分

利用组中值估算这次考试的平均分为：

45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.

所以估计这次考试的平均分是71分．………….………………………………7分

(3) 成绩是 的人数分别是4和2，…………………………8分

将分数段在的4人编号为A1，A2，…A4，将分数段在的2人编号为B1，B2，从中任取两人，则基本事件构成集合

Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)， (A2，A3)，(A2，A4)，

…，(B1，B2)}共有15个，……………………………………………………………10分

其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A,4)，(A2，A3) ，(A2，A4) ，(A3，A4)，(B1，B2)，共7个，

故概率P＝.      …………………………………………………………12分

20. （1）证明：因为分别为的中点，

又有平面，平面，所以平面

同理：平面

平面，平面，所以平面平面

（2）解：因为，所以

因为平面平面，平面平面，，平面

所以平面

，为中点，所以

所以三棱锥的体积为

（3）因为，为中点，所以，

同理，平面，平面

所以是二面角的平面角

平面平面，平面平面，平面，，

则平面

平面，所以

在直角三角形中，，则，所以二面角的大小为

21．解;(1) 的解集为 ，

和0是方程 的两个实根，则 ， ，解得 ，

（2）由（1）得， ，

则 的对称轴是 ，

在 上单调递增，

，解得

（3）由（1）得， ，即

， ，即当 时，函数

取到最小值为 ，

，实数的最大值为 。

22、解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．

由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以＝5，即|4m－29|＝25.因为m为整数，故m＝1.故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.

(2)把直线ax－y＋5＝0即y＝ax＋5代入圆的方程，消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0.

由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，

故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0.

即12a2－5a>0，由于a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是.

(3)设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为－，l的方程为 y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上．

所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.

由于 ∈，故存在实数a＝，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB.