【数学】广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题
展开广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 下列结论正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,,则 D. 若,则
- 已知p：（x-1）（x-2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 若变量x，y满足约束条件,则的最大值为
A. B. 10 C. 3 D. 9
- 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则C=( )
A. B. C. D.
- 若抛物线y2=ax的焦点与双曲线的右焦点重合，则a的值为（ ）.
A. 4 B. 8 C. 16 D.
- 已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则+的最小值是（ ）
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
- 已知数列{an}满足a1≠0，an＋1＝2an，Sn表示数列{an}的前n项和，且，则n＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
- 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M的横坐标为3，且满足|MF|=2p，则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
- 在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
- 在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）
A. B. C. D.
- 已知等差数列与等差数列的前n项和分别为和，若，则
A. B. C. D.
- 已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 命题：“∃x∈R，x2-ax+1＜0”的否定为______．
- 已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前n项和等于______．
- 点P是椭圆上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,若,则的大小______．
- 在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
- 命题p：不等式x2-（a+1）x +1＞0的解集是R．命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
- 在中，角A，B，C所对的边分别为，且
（1）求角A的值；
（2）若求的面积.
19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．
20.已知数列{an}的首项，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和为Sn．
21.中国一带一路战略构思提出后，某科技企业为抓住一带一路带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足80台时，万元；当年产量不小于80台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
求年利润万元关于年产量台的函数关系式；
年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
22.如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求△OMN的面积
S的最大值．
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | B | A | C | C | B | B | D | C | C | A |
二、填空题
- ∀x∈R，x2-ax+1≥0 14.2n-1
15. 16.y=±x
三、解答题
17.解：∵命题p：不等式x2-（a+1）x+1＞0的解集是R，
∴△=（a+1）2-4＜0，
解得-3＜a＜1，
∵命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．
∴a+1＞1，
解得a＞0
由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p，q一真一假，
当p真q假时，由，得-3＜a≤0，
当p假q真时，由，得a≥1，
综上可知a的取值范围为：{a|-3＜a≤0，或a≥1}.
18.解：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴，
可得：．
（2）∵，，
∴b2+c2=bc+4，可得：
（b+c）2=3bc+4=10，
可得：bc=2， ∴．
19.（1）证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos60°=3，
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PD⊥BD，又AD⊥BD，AD∩PD=D，AD、PD平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，
又∵PA⊂平面PAD，
∴PA⊥BD；
（2）解：由（1）可知AD⊥BD，
又底面ABCD为平行四边形
∴ AD//BC，CD=AB=2
∴ BD⊥BC，
∴，
∵∠PCD=45°，PD⊥CD，
∴为等腰直角三角形，
∴PD=CD=2，，
∴，
∵，BC=1，
∴BC2+PB2=PC2，
∴PB⊥BC，
∴，
∴，
又VP-BCD=VD-BCP，
∴，
解得．
20.（1）证明：∵，∴，
∴，
又，∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得，，即，
∴
设，①
则，②
由①-②得： ，
∴．
又．
∴数列的前n项和．
21.解：当时，
，
当时，
，
；
由可知当时，，
此时当时y取得最大值为万元，
当时，，
当且仅当，即时，y取最大值为万元，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．
22.解：（Ⅰ）∵离心率为，|F1F2|=2，∴，∴a=2，c=，则b=1
∴椭圆C的方程的方程为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1（-2，0），A2（2，0），
直线PA1，PA1的方程分别为：y=，y=
由得（9+m2）x2+4m2x+4m2-36=0
∴-2+xM=，可得.，=
由，可得（1+m2）x2-4mx+4m2-4=0
∴2+xN=，可得xN=，=
，
直线MN的方程为：，
y===
可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x=ty+1
由得（t2+4）y2+2ty-3=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
|y1-y2|==
∴△OMN的面积S=（y1-y2）=2
令，则s=
∵，且函数f（d）=d+在[，+∞）递增，
∴当d=，s取得最小值
