2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：阶段自测卷（四） (含解析)

阶段自测卷(四)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·衡水中学考试)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S10＝100，则a7的值为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
答案　C
解析　由S10＝100及公差为2，得10a1＋×2＝100，所以a1＝1.所以an＝2n－1，故a7＝13.故选C.
2．(2019·四川诊断)若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a3＝a1＋2d，a7＝a1＋6d.
因为a1，a3，a7成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
解得a1＝2d.所以＝＝.故选A.
3．(2019·四省联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝30，S10＝10，则S16等于(　　)
A．－160 B．－80 C．20 D．40
答案　B
解析　由于数列为等差数列，故
解得a1＝10，d＝－2，故S16＝16a1＋120d＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.
4．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
A．－3 B．5 C．－31 D．33
答案　D
解析　由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.
5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a1＋a6等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　B
解析　由数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)得数列{an}为等差数列，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝12，即a4＝4，同理a1＋a3＋a5＝3a3＝9，即a3＝3，所以a1＋a6＝a3＋a4＝7.
6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前1天多跑200 m，则这个同学7天一共将跑(　　)
A．39 200 m B．39 300 m C．39 400 m D．39 500 m
答案　A
解析　依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5 000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000×7＋×200＝39 200 (m)．故选A.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A．38 B．20 C．10 D．9
答案　C
解析　因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，
由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，
又S2m－1＝38，即＝38，
即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{an}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列{an}的前n项和，则等于(　　)
A. B. C．3 D．1
答案　A
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵3a2，2a3，a4成等差数列，
∴2×2a3＝3a2＋a4，
∴4a2q＝3a2＋a2q2，化为q2－4q＋3＝0，
解得q＝1或3.
又数列的各项均不相等，∴q≠1，
当q＝3时，＝＝.故选A.
9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2 019位于分组序列中的(　　)
A．第404组 B．第405组
C．第808组 D．第809组
答案　A
解析　正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为an＝2n－1， 则2 019为第1 010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2 019位于分组序列中的第404组，故选A.
10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于(　　)
A．1 290 B．1 280 C．1 281 D．1 821
答案　C
解析　由已知可得－1＝2，
又－1＝a1－1＝1，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，
故 a9＝10×128＋1＝1 281.
11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋4n，若首项为的数列{bn}满足－＝an，则数列{bn}的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由Sn＝n2＋4n，可得an＝2n＋3，
根据－＝an＝2n＋3，结合题设条件，应用累加法可求得＝n2＋2n，
所以bn＝＝＝，
所以数列{bn}的前n项和为Tn
＝
＝，
所以T10＝＝，故选A.
12．已知数列{an}的通项an＝，n∈N* ，若a1＋a2＋a3＋…＋a2 018<1 ，则实数x可以等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　B
解析　∵an＝
＝－(n≥2)，∴a1＋a2＋…＋a2 018
＝＋－
＝1－，
当x＝－时，x＋1>0，nx＋1<0(2≤n≤2 018，n∈N*)，此时1－>1.
当x＝－时，x＋1>0，x＋2>0，nx＋1<0(3≤n≤2 018，n∈N*)，此时1－<1；
当x＝－时，x＋1>0，x＋2>0，x＋3>0，nx＋1<0(4≤n≤2 018，n∈N*)，
此时1－>1；
当x＝－时，x＋1>0，x＋2>0，x＋3>0，x＋4>0，
x＋5>0，nx＋1<0(6≤n≤2 018，n∈N*)，
此时1－>1.
故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，若a4＋a10＝0，2S12＝S2＋10，则d的值为________．
答案　－10
解析　由a4＋a10＝0，2S12＝S2＋10，
得解得d＝－10.
14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.
答案　
解析　原式＝＝·＝·＝·＝·＝.
15．(2019·荆州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝(2n－1)sin，则S2 019＝________.
答案　2 020
解析　∵an＝(2n－1)sin
＝(1－2n)sin ，
∴a1，a2，…，an分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，
归纳可得，每相邻四项和为4，
∴S2 019＝504×4＋a2 017＋a2 018＋a2 019
＝2 016＋[(1－2×2 017)＋0＋(2×2 019－1)]
＝2 016＋4＝2 020.
16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P1(1，y1)，P2(2，y2)，P3(3，y3)，…，Pn＋1(n＋1，yn＋1)在x轴上的投影为Q1，Q2，…，Qn＋1，且点Pn＋1满足y1＝1，直线PnPn＋1的斜率＝2n.则多边形P1Q1Qn＋1Pn＋1的面积为________．
答案　3×2n－n－3
解析　根据题意可得yn＋1－yn＝2n，结合y1＝1，应用累加法，可以求得yn＋1＝2n＋1－1，
根据题意可以将该多边形分成n个直角梯形计算，
且从左往右，第n个梯形的面积为Sn＝＝3×2n－1－1，
总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S＝3(2n－1)－n＝3×2n－n－3.
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
(1)解　由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，
可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)证明　若q＝1，则{an}的各项均为a，
此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn.
因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1
＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．
18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{an}的前n项和记为Sn，且4Sn＝5an－5，数列{bn}满足bn＝log5an.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明Tn<1.
(1)解　∵4Sn＝5an－5，∴4a1＝5a1－5，∴a1＝5.
当n≥2时，4Sn－1＝5an－1－5，∴4an＝5an－5an－1，
∴an＝5an－1，
∴{an}是以5为首项，5为公比的等比数列，
∴an＝5·5n－1＝5n.
∴bn＝log55n＝n.
(2)证明　∵cn＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋
＝1－<1.
19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{an}满足：an＋1＝2an－n＋1，a1＝3.
(1)设数列{bn}满足：bn＝an－n，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求出数列{an}的通项公式和前n项和Sn.
(1)证明　＝＝
＝＝2，
又b1＝a1－1＝3－1＝2，
∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)得bn＝2n，∴an＝2n＋n，
∴Sn＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n＋n)＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋＝2n＋1－2＋.
20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－n(n∈N*)．
(1)证明：{an＋1}是等比数列；
(2) 若数列bn＝log2(an＋1)，求数列的前n项和Tn.
(1)证明　当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.
∵Sn＝2an－n，∴Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴ {an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)得an＋1＝2n，
∴bn＝log22n＝n，
∴＝＝
∴Tn＝
＝.
21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn.
(1)若对任意n∈N*，Sn＝都成立，求an；
(2)若a1＝1，a2＝2，bn＝a2n－1＋a2n，且数列{bn}是公比为3的等比数列，求S2n.
解　(1)由Sn＝，
得Sn－1＝，n≥2，两式相减得an＝n，n≥2，
又a1＝S1＝，不满足an＝n， ∴an＝
(2)S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝b1＋b2＋…＋bn，
∵b1＝a1＋a2＝3，{bn}是公比为3的等比数列，
∴S2n＝b1＋b2＋…＋bn＝＝(3n－1)．
22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，b1＝1，点(Tn＋1，Tn)在直线－＝上，若存在n∈N*，使不等式＋＋…＋≥m成立，求实数m的最大值．
解　(1)∵Sn＝2an－2， ①
∴Sn＋1＝2an＋1－2， ②
∴②－①得an＋1＝2an＋1－2an(n≥1)，
∴an＋1＝2an，即＝2，
∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an＝2n.
(2)由题意得，－＝，
∴成等差数列，公差为.
首项＝＝1，
∴＝1＋(n－1)＝，Tn＝，
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝n，
当n＝1时，b1＝1成立，
∴bn＝n.∴＝＝＝nn－1，
令Mn＝＋＋…＋，只需(Mn)max≥m.
∴Mn＝1＋2×＋3×2＋…＋n×n－1，③
Mn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，④
③－④得，Mn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－n×n＝－n×n
＝2－(n＋2)n，
∴Mn＝4－(n＋2)n－1.
∵Mn＋1－Mn＝4－(n＋3)n－4＋(n＋2)n－1＝>0.
∴{Mn}为递增数列，且(n＋2)n－1>0，∴Mn<4.
∴m≤4，实数m的最大值为4.