2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第4章 阶段自测卷（三） (含解析)

阶段自测卷(三)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·浏阳六校联考)已知点P(－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于(　　)A.  B.  C．－  D．－答案　A解析　∵点P(－4,3)是角α终边上的一点，∴sin α＝，∴sin(π－α)＝sin α＝.故选A.2．(2019·长春质检)函数f(x)＝3sin x＋cos x的最大值为(　　)A.  B．2  C．2  D．4答案　C解析　由题意可知f(x)＝3sin x＋cos x＝2＝2sin，∵－1≤sin≤1，∴－2≤2sin≤2，故函数f(x)＝3sin x＋cos x的最大值为2.故选C.3．(2019·长沙长郡中学调研)cos 210°cos 75°－2cos215°sin 15°等于(　　)A.  B．－  C．－  D.答案　B解析　根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos 15° ＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－，故选B.4．(2019·安徽皖南八校联考)若角α满足cos＝，则sin 2α等于(　　)A.  B.  C．－  D．－答案　A解析　cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，又cos＝－sin 2α，所以sin 2α＝.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos2α等于(　　)A.  B．－  C．－或1  D．1答案　D解析　sin 2α＋cos2α＝＝，又∵tan α＝2，∴sin 2α＋cos2α＝＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数 y＝sin的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度答案　B解析　y＝sin 2x＝sin，故应向右平移个单位长度．故选B.7．(2019·成都七中诊断)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin(A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，则A的大小为(　　)A．30°  B．60°  C．120°  D．150°答案　C解析　∵(b＋c)sin(A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，∴由正弦定理可得(b＋c)b＝(a＋c)(a－c)，整理可得b2＋c2－a2＝－bc，∴由余弦定理可得cos A＝＝－，∴由A∈(0，π)，可得A＝120°.故选C.8.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分如图所示．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案　A解析　观察图象知，A＝1，T＝2＝π，ω＝＝2，即y＝sin(2x＋φ)．将点代入得sin＝0，结合|φ|≤，得φ＝，所以y＝sin.故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z答案　D解析　由题意可得函数的周期为2＝2，∴＝2，解得ω＝π，∴f(x)＝cos(πx＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得＋φ＝，解得φ＝，f(x)＝cos，令2kπ≤πx＋≤2kπ＋π，可解得2k－≤x≤2k＋，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围为(　　)A.  B.  C.  D．[0,1]答案　A解析　函数f(x)＝cos(ω>0)，当x∈[0，π]时，cos x＋∈，由题意－1≤cos≤，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋≤，解得≤ω≤，故ω的取值范围为.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC中，AC＝6，BC＝7，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中0≤x≤1,1≤y≤2，动点P的轨迹所覆盖的面积为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　如图以OA,2OB为邻边作平行四边形OAED，F为AE中点，根据题意知，P点在以BF，BD为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB.在△ABC中，cos∠BAC＝，AC＝6，BC＝7，∴由余弦定理得，＝，解得AB＝5或AB＝－(舍去)，又O为△ABC的内心，∴内切圆半径r＝，∴S△AOB＝·r·|AB|，∴S△AOB＝·S△ABC＝××5×6×sin∠BAC＝·＝，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f(x)＝2cos xsin(x＋φ)＋m的图象关于直线x＝对称，在区间上任取三个实数a，b，c，总能以f(a)，f(b)，f(c)的长为边构成三角形，则实数m的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)   B.C．(2，＋∞)   D.答案　D解析　函数f(x)＝2cos xsin(x＋φ)＋m的图象关于直线x＝对称，即f(x)＝2cos x(sin xcos φ＋cos xsin φ)＋m ＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ＋sin φ＋m＝sin(2x＋φ)＋sin φ＋m ，当x＝时，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝－，即f(x)＝sin－＋m，由三角函数的单调性可知在区间上，f(x)min＝－1＋m，f(x)max＝＋m，若在区间上任取三个实数a，b，c，总能以f(a)，f(b)，f(c)的长为边构成三角形，则2f(x)min＞f(x)max ＞0 ，即∴m>，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝，则cos 2θ＝________.答案　解析　cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.14．已知tan＝－，α∈，则sin的值是________．答案　解析　∵tan＝－，α∈，∴tan α＝tan＝＝，∴sin α＝，cos α＝，∴sin＝sin α＋cos α＝.15．(2019·山师大附中模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝，c＝3，＝，则△ABC的面积等于________．答案　解析　∵＝，∴＝，化简得sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A＝B，∴a＝b.又∵cos C＝，c＝3，∴cos C＝＝，解得a＝b＝，且sin C＝，S△ABC＝absin C＝.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A，B，C为△ABC的三内角，且其对边分别为a，b，c，若m＝，n＝.若m·n＝，△ABC的周长为a＋4，△ABC的面积为，则a的值是____．答案　2解析　根据题意，有·－2cos ·＝，整理得·－2cos2＝，从而求得cos ＝，因为A∈(0，π)，所以∈，所以＝，所以A＝，根据题意有b＋c＝4，bcsin ＝，即bc＝4，根据余弦定理，可得a＝＝＝＝＝2.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f(x)＝2sin2＋cos 2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．解　f(x)＝1－cos＋cos 2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.(1)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)方程移项得f(x)＝m＋2，方程有两解等价于函数f(x)与函数y＝m＋2有两个交点，画出两函数在区间内的图象如图所示：由图象知≤m＋2<2，∴－2≤m<0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．解　(1)f(x)＝＋sin 2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin＋.因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin＋.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，因此0≤sin＋≤，即f(x)的取值范围为19．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC的对边分别为a，b，c，且满足a＝bcos C＋csin B.(1)求角B；(2)若cos A＝，试求cos C的值．解　(1)已知a＝bcos C＋csin B，由正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B, sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B，cos Bsin C＝sin Csin B，因为在△ABC中sin C>0，所以cos B＝sin B，因为sin B>0，所以cos B>0，所以tan B＝＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为cos A＝， A∈(0，π)，所以sin A＝＝， 由(1)可知A＋C＝，所以C＝－A, cos C＝cos＝coscos A＋sinsin A，cos C＝(sin A－cos A)＝＝.20．(12分)已知f(x)＝sin(ωx＋φ) 满足f＝－f(x)，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f(x)的解析式；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cos B＝bcos A，求f(A)的取值范围．解　(1)∵f＝－f(x)，∴f(x＋π)＝－f＝f(x)，∴T＝π，∴ω＝2，则f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为g(x)＝sin，而g(x)为奇函数，则有＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<，则有φ＝－，从而f(x)＝sin.(2)∵(2c－a)cos B＝bcos A，由正弦定理得2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C，又C∈，∴sin C≠0，∴cos B＝，∴B＝.∵△ABC是锐角三角形，∴0<C＝－A<，∴<A<，∴0<2A－<，∴sin∈(0,1]，即f(A)＝sin的取值范围为(0,1]．21．(12分)已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b.(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．解　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b＝sin＋＋b.(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f(x)＝sin＋＋b，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b，∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．又f(0)＝f，∴当f≤0<f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点．即sin ≤－b－<sin 或1＋＋b＝0，∴满足条件的b∈∪.22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，∠APC＝60°，AB＝2，AP＋PB＝4.(1)求BP的长；(2)若AC＝，求cos∠ACP的值．解　(1)由已知，得∠APB＝120°，又AB＝2，AP＋BP＝4，在△ABP中，由余弦定理，得(2)2＝BP2＋(4－BP)2－2×BP×(4－BP)cos 120°， 整理，得BP2－4BP＋4＝0.解得BP＝2.(2)由(1)知，AP＝2，所以在△ACP中，由正弦定理得＝， 解得sin∠ACP＝2×＝.因为2<，所以AP<AC，从而∠ACP<∠APC，即∠ACP是锐角， 所以cos∠ACP＝ ＝.