2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章第7讲　抛物线 (含解析)

第7讲　抛物线

一、选择题

1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)

A.   B.1   C.   D.2

解析　由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，

由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2).

代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D.

答案　D

2.点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)

A.y＝12x2    B.y＝12x2或y＝－36x2

C.y＝－36x2    D.y＝x2或y＝－x2

解析　分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.

答案　D

3.(2017·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)

A.9   B.8   C.7   D.6

解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.

答案　B

4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若＝4，则|QF|等于(　　)

A.   B.   C.3   D.2

解析　∵＝4，

∴||＝4||，∴＝.

如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，

设l与x轴的交点为A，

则|AF|＝4，∴＝＝，

∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.

答案　C

5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　)

A.12   B.24   C.16   D.32

解析　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，

由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.

当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，

由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，

综上可知，y＋y≥32.

∴y＋y的最小值为32.故选D.

答案　D

二、填空题

6.(2016·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.

解析　由图可知弦长|AB|＝2，三角形的高为3，

∴面积为S＝×2×3＝3.

答案　3

7.(2017·四川四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________.

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2).易得抛物线的焦点是F(1，0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

答案　8

8.(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

解析　y2＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A，B，又点A，B在双曲线y2－x2＝1上，从而－＝1，所以p＝2.

答案　2

三、解答题

9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；

②求p的取值范围.

(1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).

即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.

∴抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)①证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).

则则

∴kPQ＝＝，

又∵P，Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，

∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，

∴＝＋2＝2－p.

∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p).

②解　∵PQ的中点为(2－p，－p)，

∴

即∴

即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.

即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，

故所求p的范围为.

10.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)＋为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).

由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，

得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

则y1，y2是方程(*)的两个实数根，

所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

(2)＋＝＋

＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝(定值).

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝

(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)

A.－4   B.4   C.p2   D.－p2

解析　①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；

②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，

联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，

则x1x2＝.又y＝2px1，y＝2px2，

∴yy＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p2.

故＝－4.

答案　A

12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)

A.   B.   C.   D.1

解析　如图，

由题可知F，设P点坐标为(y0＞0)，

则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，

kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立.故选C.

答案　C

13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.

解析　如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.

答案　－1

14.(2017·南昌模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点).

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值.

解　(1)由题意知F1(1，0)，F2，

∴＝，

∵F1F2⊥OP，∴·＝·(－1，－1)＝1－＝0，

∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.

(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，

联立得M，

联立得N(4k，4k2)，

从而|MN|＝＝，

又点P到直线MN的距离d＝，

进而S△PMN＝···

＝2·＝

＝2，

令t＝k＋(t≤－2)，

则有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，

当t＝－2时，此时k＝－1，S△PMN取得最小值.

即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.