2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章第6讲　双曲线 (含解析)

第6讲　双曲线

一、选择题

1.(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y＝±x    B.y＝±x 

C.y＝±x    D.y＝±2x

解析　因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.

答案　B

2.(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1    B.－＝1

C.－＝1    D.－＝1

解析　因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.

答案　C

3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.

答案　B

4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.

由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

又|PF1|＝2|PF2|，

∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得

cos ∠F1PF2＝＝.

答案　C

5.(2017·成都调研)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)

A.   B.2   C.6   D.4

解析　由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.

答案　D

二、填空题

6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________.

解析　由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.

答案　2

7.(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

解析　取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，

又∠AOB＝，

∴＝tan＝1，即a＝b.

又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

答案　2

8.(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.

解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.

又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).

答案　2

三、解答题

9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.

(1)解　∵e＝，

∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线的方程为x2－y2＝6.

(2)证明　法一　由(1)可知，a＝b＝，

∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，

∴kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·kMF2＝＝－.

∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，

故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.

法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，

∴F1(－2，0)，F2(2，0)，

＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，

∵点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴·＝0.

10.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.

解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.

故C2的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k2＜1.①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝－.

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.

又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，

∴＞2，即＞0，

解得＜k2＜3.②

由①②得＜k2＜1，

故k的取值范围为∪.

11.过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1    D.－＝1

解析　由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可得点A的坐标为(a，b).

设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1，故选A.

答案　A

12.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.

答案　C

13.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.

解析　如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，

由于△PF1F2为锐角三角形，

结合实际意义需满足

解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，

∴2＜2m＋2＜8.

答案　(2，8)

14.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.

(1)求此双曲线的方程；

(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积.

解　(1)依题意得

解得

故双曲线的方程为－x2＝1.

(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，

设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，

由＝得点P的坐标为.

将点P的坐标代入－x2＝1，

整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，

∵tan＝2，

则tan θ＝，从而sin 2θ＝.

又|OA|＝m，|OB|＝n，

∴S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.