数学必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质精品第1课时学案

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7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)


第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象








在物理和工程技术中经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0, ω>0)的函数，怎样画出它的函数图象从而来研究此类函数的性质呢？请百度一下物理中的“漏沙摆”实验．





1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念


设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝eq \f(2π,ω)称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．


2．图象变换


(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：


y＝sin x图象eq \(―――――――――――→,\s\up10(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\d12(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)图象．


(2)A对函数y＝Asin x图象的影响(振幅变换)：


y＝sin x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝Asin x图象．


(3)ω对函数y＝sin ωx的图象的影响(周期变换)：


y＝sin x图象各点横坐标变为原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)得到y＝sin ωx图象．


思考：先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗？


[提示] 不相同．平移的单位长度不同．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)将y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,4)个单位，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象．( )


(2)将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到y＝sin eq \f(1,2)x的图象．( )


(3)将y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x的图象．( )


[提示] (1)y＝sin xeq \(――――→,\s\up8(向右平移),\s\d12(\f(π,4)个单位))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))．


(2)y＝sin xeq \(――――――→,\s\up8(横坐标变为),\s\d12(原来的\f(1,2)))y＝sin 2x．


(3)y＝sin xeq \(―――――――→,\s\up8(纵坐标变为原来),\s\d8(的2倍))y＝2sin x．


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．简谐运动y＝eq \f(1,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x－\f(π,12)))的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．


eq \f(1,4) 6 eq \f(1,6) －eq \f(π,12) [由简谐运动的相关概念可知，


A＝eq \f(1,4)，T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,6)，初相φ＝－eq \f(π,12)．]








【例1】 作出函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．


[思路点拨] eq \x(用“五点法”作图)―→


eq \x(求周期、频率、相位、初相、最值)―→eq \x(求单调区间)


[解] (1)列表如下：


(2)描点．


(3)作图，如图所示：





周期为T＝2π，频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)，相位为x－eq \f(π,3)，初相为－eq \f(π,3)，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5,6)π，2kπ＋\f(11,6)π))，k∈Z，增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))，k∈Z．





1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．


2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．





eq \([跟进训练])


1．已知函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，用“五点法”画出其简图．


[解] 列表：


描点，连线得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在一个周期内的图象．





再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))(x∈R)的图象．


[探究问题]


1．将函数y＝sin x的图象经过怎样变换，可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象？


[提示] 法一：先相位变换后周期变换．


y＝sin x的图象eq \(――――――――――――――→,\s\up8(φ>0，左移φ个单位长度),\s\d8(φ<0，右移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图象


y＝sin(ωx＋φ)的图象


eq \(―――――――――――――――――――――――――――→,\s\up8(A>1，纵坐标伸长到原来的A倍横坐标不变),\s\d8(0

法二：先周期变换后相位变换．


y＝sin x的图象


y＝sin ωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象


eq \(――――――――――――――――――――――→,\s\up8(A>1，纵坐标伸长到原来的A倍横坐标不变),\s\d8(0

2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位，可以得到哪个函数的图象？


[提示] y＝sin 2xy＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝sin(2x＋π)＝－sin 2x．


【例2】 如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)的图象．


[思路点拨] 可由y＝sin x的图象先进行平移变换，再进行伸缩变换得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，也可以先进行伸缩变换，再进行平移变换．











1．(变条件)如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象？


[解] 先把y＝sin x的图象上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象；再把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象；最后把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象．


2．(变结论)如何由y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象得到y＝sin x的图象？








已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤


1将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asinωx＋φ，即A，ω及名称相同的结构.


2找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为.


3明确平移的方向.


提醒：三角函数图象的两种伸缩变换的实质是对函数图象的各点的横坐标的伸缩和纵坐标的伸缩变化.








eq \([跟进训练])


2．设ω＞0，若函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．


[解] 将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,3)))＋2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)－\f(4ωπ,3)))＋2．


因为平移后的图象与原图象重合，所以有eq \f(4ωπ,3)＝2kπ(k∈Z)，即ω＝eq \f(3k,2)(k∈Z)，又因为ω＞0，所以k≥1，故ω＝eq \f(3k,2)≥eq \f(3,2)．所以ω的最小值为eq \f(3,2)．








1．本节课的重点是五点法作图、图象变换，难点是图象变换．


2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的两个问题


(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．


(2)三角函数的图象变换．


3．本节课的易错点是由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移的单位为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))而不是|φ|．





1．已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )


A．3，eq \f(π,6) B．3，eq \f(π,3)


C．6，eq \f(π,6) D．6，eq \f(π,3)


C [由题意可知f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝eq \f(1,2)，


又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))，


∴T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，φ＝eq \f(π,6)．]


2．把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．


y＝cs x [y＝sin xy＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x．]


3．将y＝eq \f(1,2)sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________．


sin x [将函数y＝eq \f(1,2)sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×eq \f(1,2)sin x＝sin x的图象．]


4．已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))．


(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象；


(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？


(3)求此函数的周期、振幅、初相；


(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．


[解] (1)列表：


描点连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示．





(2)法一：①把y＝sin x图象上所有的点向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象；


②把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象；


③将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象．


法二：①把y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq \f(1,2)x的图象；


②把y＝sineq \f(1,2)x图象上所有的点向右平移eq \f(π,2)个单位长度，得到y＝sineq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象；


③将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象．


(3)周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，振幅A＝3，初相是－eq \f(π,4)．


(4)令eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，


解得x＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，


即函数的对称轴是直线x＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z．


令eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，


解得x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


即函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，0))，k∈Z．


令－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


解得－eq \f(π,2)＋4kπ≤x≤eq \f(3π,2)＋4kπ，k∈Z，


即函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋4kπ，\f(3π,2)＋4kπ))(k∈Z)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ对图象的影响．(重点)


2．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)
通过本节内容的学习，提升学生的直观想象和数学运算核心素养．
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
x
eq \f(π,3)
eq \f(5,6)π
eq \f(4,3)π
eq \f(11,6)π
eq \f(7,3)π
x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
y
3
5
3
1
3
x
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
eq \f(7π,6)
2x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
0
2
0
－2
0
三角函数的图象变换
eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,2)
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,2)
eq \f(7π,2)
eq \f(9π,2)
y
0
3
0
－3
0