高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质课时练习

第7章三角函数

7.3　三角函数的图象与性质

7.3.1　三角函数的周期性

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.函数f(x)=2sin的最小正周期是(　　)

A.2π B.6π C. D.

答案B

解析T==6π.

2.函数f(x)=2cos的最小正周期是(　　)

A. B. C. D.2π

答案C

解析T=.

3.若函数f(x)=sin的最小正周期是2π,则ω等于(　　)

A.1 B.-1 C.π D.±1

答案D

解析由T==2π,解得ω=±1.

4.函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.

答案A

解析因为周期T=,ω=4,f=tan π=0.

5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当2<x≤6时,f(x)=3-x,则f(1)等于(　　)

A.2 B.-2 C.-1 D.1

答案B

解析∵f(x+4)=f(x),∴f(1)=f(1+4)=f(5).

又当2<x≤6时,f(x)=3-x,

∴f(5)=3-5=-2,∴f(1)=-2.

6.函数y=2tan 2x的最小正周期为　　　　　. 

答案

解析∵ω=2,∴最小正周期T=.

7.求下列函数的周期:

(1)y=tan 3x,x∈R;

(2)y=cos,x∈R;

(3)y=sin,x∈R.

解(1)y=tan 3x的周期为T=.

(2)y=cos的周期为T==6π.

(3)y=sin的周期为T==4π.

关键能力提升练

8.已知函数y=2cos-ωx(ω<0)的最小正周期是4π,则ω=(　　)

A.-4 B.- C.-1 D.-

答案D

解析因为T==4π,所以|ω|=.

因为ω<0,所以ω=-.

9.函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=2,则f(5)=(　　)

A.2 B.1 C.-2 D.-1

答案C

解析因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,

所以f(x+3)=f(x)且f(-x)=-f(x).

又f(1)=2,所以f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.

10.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是(　　)

答案B

解析由f(-x)=f(x),得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A、C.由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2,故选B.

11.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=(　　)

A. B.- C.0 D.1

答案A

解析因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π,

所以f=f=sin.

12.设函数f(x)=sinx,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=(　　)

A. B.- C. D.0

答案A

解析因为f(x)=sinx的周期T==6,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=336sin+sinπ+sin π+sinπ+sinπ+sin 2π+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)+f(336×6+4)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin+sin+sin+sin.

13.(多选)(2021海南三亚调研)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(x∈R),则f(x)的一个正周期可以为(　　)

A. B. C.p D.2p

答案BCD

解析令px-=u,则px=u+,依题意有f=f(u),此式对任意u∈R都成立,而>0且为常数,因此f(x)是一个周期函数,的正整数倍是一个正周期.

14.(多选)设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.若f=,则cos α的可取值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案CD

解析因为f(x)的最小正周期为,

ω>0,所以ω==4.

所以f(x)=3sin4x+.

由f=-3sin α=,sin α=-.

则cos α=±.

15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=,则f(x)的最小正周期为　　　　　;且当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(8.5)=　　　　　. 

答案2　

解析∵f(x+1)=,∴f(x+2)=f(x),故f(x)的最小正周期为2.则f(8.5)=f(0.5).

又x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(0.5)=20.5=,

∴f(8.5)=.

16.(2021山东青岛调研)设f(x)是定义在R上且最小正周期为的函数,在某一周期上f(x)=则f的值为　　　　. 

答案

解析∵f(x)的最小正周期为,

∴f=f=f.

∵0<<π,∴f=sin=sin,

即f.

17.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sin x,则当x∈时,求f(x)的解析式.

解当x∈时,3π-x∈,

因为当x∈时,f(x)=1-sin x,

所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.

又f(x)是以π为周期的偶函数,

所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的解析式为f(x)=1-sin x,x∈.

18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对任意的x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2π)时,f(x)=log2(x+1),试求f(-2 017)+f(2 019)的值.

解∵当x≥0时,f(x+2)=-,

∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.

∴f(2 019)=f(3)=log24=2.

又f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,

∴f(-2 017)+f(2 019)=1+2=3.

学科素养拔高练

19.(2021江苏太仓中学月考)已知函数f(x)=lo|sin x|.

(1)求其定义域和值域;

(2)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期.

解(1)∵|sin x|>0,∴sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z.

∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.

∵0<|sin x|≤1,∴lo|sin x|≥0,

∴函数的值域为{y|y≥0}.

(2)∵f(x+π)=lo|sin(x+π)|=lo|sin x|=f(x),∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π.