苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质优秀导学案及答案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质优秀导学案及答案，共7页。

7.3.1 三角函数的周期性








观察下列图象，





这些图象具有怎样的共同规律？





1．周期函数的定义


(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．


(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)


(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π．


思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．


[提示] 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．


思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？


[提示] 并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．


2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期


一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝eq \f(2π,ω)．函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为eq \f(π,ω)．


思考3：6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？


[提示] 是．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)周期函数都一定有最小正周期．( )


(2)周期函数的周期只有唯一一个．( )


(3)周期函数的周期可以有无数多个．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．函数y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,4)))的周期是________．


2 [T＝eq \f(2π,π)＝2．]


3．函数f(x)＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))的周期是________．


eq \f(π,2) [T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2)．]








【例1】 求下列函数的最小正周期．


(1)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,3)))；


(2)f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,4)))；


(3)y＝|sin x|；


(4)f(x)＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ax＋\f(π,4)))(a≠0)．


[思路点拨] 利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解．


[解] (1)T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，∴最小正周期为6π．


(2)T＝eq \f(π,|－3|)＝eq \f(π,3)，∴最小正周期为eq \f(π,3)．


(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π．


验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，


∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π．


(4)T＝eq \f(2π,|2a|)＝eq \f(π,|a|)，∴最小正周期为eq \f(π,|a|)．





利用公式求y＝Asinωx＋φ或y＝Acsωx＋φ的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝eq \f(2π,|ω|).








eq \([跟进训练])


1．已知f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))的最小正周期为eq \f(π,5)，则ω＝______．


±10 [由题意可知eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(π,5)，所以ω＝±10．]





[探究问题]


1．若函数f(x)满足f(x＋a)＝eq \f(1,fx)(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期．


[提示] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq \f(1,fx＋a)＝eq \f(1,\f(1,fx))＝f(x)，


∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a．


2．若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．


[提示] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)


＝－[－f(x)]＝f(x)，


∴f(x)是周期函数，且最小正周期为2a．


【例2】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．


[思路点拨] eq \x(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3))))eq \(――→,\s\up7(T＝π))eq \x(只需求f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))))


eq \(――――→,\s\up7(偶函数))eq \x(只需求f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))))


[解] ∵f(x)的最小正周期是π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))．


又∵f(x)是R上的偶函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2)．





1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．


[解] ∵f(x)的最小正周期为π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，


∵f(x)是R上的奇函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)．


2．(变结论)本例条件不变，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))的值．


[解] ∵f(x)的最小正周期为π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，


∵f(x)是R上的偶函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)．


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))＝eq \f(1,2)．





函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.





eq \([跟进训练])


2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________．


－6 [因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝f(－1)＝－ f(1)＝6，则f(1)＝－ 6．


因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0，


所以f(6)＝ f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6．]








1．本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期．


2．本节课重点掌握求三角函数周期的方法


(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．


(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|)．


(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．


三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．





1．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的最小正周期为( )


A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)


C．π D．2π


C [T＝eq \f(2π,2)＝π．]


2．若函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．


2 [T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．]


3．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________．


2 [f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．]


4．若f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))的值．


[解] ∵f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))


＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，


又∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－1．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解周期函数的定义．(难点)


2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)


3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)以及y＝Atan(ωx＋φ)的周期．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
求三角函数的周期
周期性的应用