高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时学案及答案

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在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
(1) (2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
[提示] ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(φ,ω)))，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝sin 3x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位所得图象的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).( )
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝eq \f(1,2)sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－eq \f(π,3) B．y＝sin x＋eq \f(π,3)
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
D [根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．]
类型1 匀速圆周运动的数学模型
【例1】 如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．
[解] 由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝eq \f(π,3)＋ωt，
根据三角函数的定义，得P点纵坐标
y＝|OP|sin∠POx＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋ωt))，
即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,3)))，
∵函数的周期T为eq \f(2π,2)＝π，
∴由T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝2，
∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t－\f(π,6)))
C [∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω