苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质精品第2课时2课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质精品第2课时2课时学案，共12页。

第2课时 正弦、余弦函数的图象与性质











回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．





正弦函数、余弦函数的图象与性质





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))是奇函数． ( )


(2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数．( )


(3)y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递减．( )


(4)y＝cs x的值域为(－1,1)．( )


[提示] (1)∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，∴是偶函数．


(2)T＝eq \f(2π,2)＝π．f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin 2x，故为奇函数．


(3)y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增．


(4)×．y＝cs x的值域为[－1,1]．


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×


2．函数y＝eq \f(1,2)sin x＋1的值域是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) [由sin x∈[－1,1]，得eq \f(1,2)sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，


所以eq \f(1,2)sin x＋1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))．]


3．函数y＝sin(2x＋π)的对称中心是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z [y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，


由2x＝kπ得x＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，


∴y＝sin(2x＋π)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z．]








【例1】 求下列函数的单调递增区间．


(1)y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))；


(2)y＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))．


[思路点拨] (1)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．


(2)先由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))>0，得到相应x的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．


[解] (1)因为y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，


由－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，


得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，


所以y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)．


(2)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))>0得2kπ

即eq \f(π,6)＋2kπ

要求原函数的单调递增区间，只需求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间，





令eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)，②


由①②可知eq \f(2π,3)＋2kπ≤x

所以原函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(7π,6)＋2kπ))(k∈Z)．





求函数y＝Asinωx＋φA>0，ω≠0的单调区间的一般步骤


1当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(π,2)k∈Z解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(3π,2)k∈Z解出x的范围，即为函数递减区间.


2当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin－ωx－φ，则y＝sin－ωx－φ的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.,余弦函数y＝Acsωx＋φA>0，ω≠0的单调性讨论同上.


提醒：要注意k∈Z这一条件不能省略.








eq \([跟进训练])


1．求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，x∈[－π，0]的单调减区间．


[解] 当2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)时，函数单调递减，


解得：kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)．


∵x∈[－π，0]，


∴取k＝－1，此时－π＋eq \f(π,6)≤x≤－π＋eq \f(2π,3)，


即－eq \f(5π,6)≤x≤－eq \f(π,3)．


故函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，x∈[－π，0]的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)))．





【例2】 用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．


(1)sin 194°与cs 160°；


(2)cs eq \f(3,2)，sin eq \f(1,10)，－cs eq \f(7,4)；


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,8)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8)))．


[思路点拨] 先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．


[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，


cs 160°＝cs(90°＋70°)＝－sin 70°．


∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在区间(0°，90°)内是增函数，


∴sin 14°－sin 70°，


∴sin 194°>cs 160°．


(2)sin eq \f(1,10)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))，－cs eq \f(7,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))，


∵0<π－eq \f(7,4)

函数y＝cs x在(0，π)上是减函数，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))>cs eq \f(3,2)，


即－cs eq \f(7,4)>sin eq \f(1,10)>cs eq \f(3,2)．


(3)cs eq \f(3π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝sin eq \f(π,8)．


∵0

∴sin eq \f(π,8)

∴cs eq \f(3π,8)

而0

函数y＝sin x在(0,1)内是增函数，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8)))




比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.








eq \([跟进训练])


2．比较下列各组数值的大小：


(1)sin 2与cs 1；(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,3)π))．


[解] (1)因为cs 1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))，


sin 2＝sin(π－2)，


又0

从而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))

即cs 1

(2)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,3)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)，


∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))




[探究问题]


1．如何求函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上的值域？


[提示] 借助函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上的单调性求解．


因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，y＝sin x是单调递增函数，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))≤sin x≤sineq \f(π,6)，即－eq \f(\r(3),2)≤sin x≤eq \f(1,2)，


∴其值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))．


2．如何求形如y＝asin x＋b(a，b≠0)的值域？


[提示] 令t＝sin x，则t∈[－1,1]，从而转化为y＝at＋b，t∈[－1,1]型的值域问题．


3．如何求形如y＝asin2x＋bsin x＋c的值域？


[提示] 令sin x＝t，t∈[－1,1]，从而y＝at2＋bt＋c，t∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．


【例3】 (1)求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的最大值和最小值；


(2)求函数y＝－2cs2x＋2sin x＋3，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．


[思路点拨] (1)由x的范围⇒2x＋eq \f(π,3)的范围⇒借助单调性求y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最值；


(2)由x的范围⇒sin x的范围⇒函数的值域．


[解] (1)∵－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6)，


∴0≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，


∴0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1，


∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝1时，取得最大值2；


当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0时，取得最小值0．


(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3


＝2sin2x＋2sin x＋1


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)．


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq \f(1,2)≤sin x≤1．


当sin x＝1时，取得最大值5；


当sin x＝eq \f(1,2)时，取得最小值eq \f(5,2)．


∴函数y＝－2cs2x＋2sin x＋3的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，5))．





1．(变条件)将本例(1)中“－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6)”改为“－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,6)”，求y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最值．


[解] ∵－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,6)，


∴－eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，


∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1，


∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝1时，取得最大值2，


当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)时，取得最小值－eq \r(3)．


2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cs2x＋2sin x＋3改为y＝－2cs2x＋2cs x＋3”，其它条件不变，求值域．


[解] y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,2)，


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，


∴－eq \f(\r(3),2)≤cs x≤eq \f(\r(3),2)．


当cs x＝eq \f(1,2)时，取得最大值eq \f(7,2)．


当cs x＝－eq \f(\r(3),2)时，取得最小值eq \f(3,2)－eq \r(3)．





1．求形如y＝Asin x＋B或y＝Acs x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．


2．求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acs2x＋bcs x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cs x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cs x)的有界性．








eq \([跟进训练])


3．(1)已知函数f(x)＝2sinx，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )


A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)


C．π D．2π


(2)函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)≤x≤\f(4π,3)))的值域为________．


(1)C (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1)) [(1)不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin x的半个周期．因为f(x)＝2sin x的周期为2π，所以|x1－x2|的最小值为π， 故选C．


(2)函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)≤x≤\f(4π,3)))的图象，如图．由图象可知，当x＝eq \f(π,2)时，ymax＝1，当x＝eq \f(4π,3)时，ymin＝－eq \f(\r(3),2)，所以函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)≤x≤\f(4π,3)))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))．]











1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．


2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点


(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．


(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．


(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0．


3．要重点掌握函数性质的应用


(1)求正、余弦函数的周期．


(2)判断正、余弦函数的奇偶性．


(3)求正、余弦函数的单调区间．


(4)求正、余弦函数的值域．


4．本节课的易错点有以下两处


(1)求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．


(2)求形如函数y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sin x的有界性．





1．函数y＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性为( )


A．奇函数 B．偶函数


C．非奇非偶 D．既奇又偶


A [∵eq \r(2)sin(－2x)＝－eq \r(2)sin 2x，


∴函数y＝eq \r(2)sin 2x为奇函数．]


2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z) [令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得kπ－eq \f(π,12)≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ(k∈Z)．]


3．将cs 150°，sin 470°，cs 760°按从小到大排列为______．


cs 150°＜cs 760°＜sin 470° [cs 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cs 20°＞0，


cs 760°＝cs 40°＞0且cs 20°＞cs 40°，所以cs 150°＜cs 760°＜sin 470°．]


4．求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))的单调区间．


[解] y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))．


因为2x－eq \f(π,4)是关于x的增函数，所以只需要考虑y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))关于2x－eq \f(π,4)的单调性即可．


当2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))为增函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))为减函数，


解得kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)(k∈Z)，


即函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))的单调减区间为


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)；


同理，令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，


求得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))的单调增区间为


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))(k∈Z)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)


2．掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)


3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象、数学运算核心素养．
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cs x，x∈R
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最值
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，


取得最大值1；


当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，


取得最小值－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，


取得最大值1；


当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，


取得最小值－1
周期性
周期函数，T＝2π
周期函数，T＝2π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函数；


在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；


在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数
对称性
关于x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称
关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)成中心对称
求三角函数的单调区间
比较三角函数值的大小
与三角函数有关的值域问题