苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质巩固练习

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质巩固练习，共37页。试卷主要包含了下列函数中是偶函数的是等内容，欢迎下载使用。

7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正、余弦(型)函数的图象及简单应用
1.用“五点法”作y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1)
B.(0,1),π2,-1,(π,-3),3π2,-1,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),π6,3-1,π3,0,π2,-1,2π3,-2
2.函数y=-sin x,x∈-π2,3π2的简图是(　　)

3.(多选)下列x的取值范围能使cos x>sin x成立的是(　　)
A.0,π4
B.π4,5π4
C.5π4,2π
D.π4,π2∪π,5π4
4.(2019黑龙江双鸭山一中高一期末)已知函数f(x)=-3+2cos x的图象经过点π3,b,则b=　　　　.  
5.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-12的交点有　　　　个. 
6.方程sin x=1100x2有　　　　个正实数根.  
7.用“五点法”作出函数y=1-13cos x图象的简图.












题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性
8.下列函数中是偶函数的是(　　)
A.y=sin 2x B.y=-sin x
C.y=sin|x| D.y=sin x+1
9.设函数f(x)=sin2x-π2,x∈R,则f(x)是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
10.函数y=sin12x-φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是(　　)
A.0 B.π4
C.π2 D.π
11.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数,则a=　　　　.  
题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性
12.(2019福建八县(市)一中高一上期末联考)函数y=2sinx-π4图象的一条对称轴是直线(　　)
A.x=π4 B.x=π2
C.x=3π4 D.x=2π
13.若直线x=a是函数y=sinx+π6图象的一条对称轴,则a的值可以是(　　)
A.π3 B.π2
C.π6 D.-π3
14.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于点7π12,0对称的是(　　)
A. f(x)=sinx2+π6
B. f(x)=sin2x+π6
C. f(x)=cos2x-π6
D. f(x)=sin2x-π6
15.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),且对于任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6的值为　　　　. 
16.已知函数f(x)=cosx2+π3,则f(x)的最小正周期是　　　　, f(x)图象的对称中心是　　　　　　.  

题组四　正、余弦(型)函数的单调性及简单应用
17.函数y=-23cos x,x∈[0,2π]的单调性是(　　)
A.在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数
B.在0,π2,3π2,2π上是增函数,在π2,3π2上是减函数
C.在[π,2π]上是增函数,在[0,π]上是减函数
D.在π2,3π2上是增函数,在0,π2,3π2,2π上是减函数
18.(2019山东师大附中高一期中)设a=cosπ12,b=sin41π6,c=cos7π4,则(　　)
A.a>c>b
B.c>b>a
C.c>a>b
D.b>c>a
19.函数f(x)=2cos2x-π4的单调递减区间是　　　　　　　　. 
20.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　.  
题组五　正、余弦(型)函数的值域与最值
21.y=sin x-|sin x|的值域是(　　)
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,1] D.[-2,0]
22.当-π2≤x≤π2时,函数f(x)=2sinx+π3有(　　)
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-12
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1

23.已知函数f(x)=a-bcos2x+π6(b>0)的最大值为32,最小值为-12.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asinbx-π3的最小值,并求出取最小值时x的集合.









能力提升练
题组一　正、余弦(型)函数图象的应用
1.(2019广东佛山顺德高三教学质量检测,)函数f(x)=x·sin x+cos x的大致图象为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.()设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min=2π,则正实数ω=(　　)
A.12 B.1
C.32 D.2
3.(多选)(2020山东济南高一检测,)若函数f(x)=4sin2x+π3(x∈R),则下列命题正确的是(　　)
A.y=f(x)的解析式可改写为y=4cos2x-π6
B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C.函数y=fx-π6是奇函数
D.y=fx+π12的图象关于y轴对称
4.(2020北京西城高一上期末,)设函数f(x)=sinωx+π3(ω≠0).若f(x)的图象关于直线x=π6对称,则ω的取值集合是　　　　　　　. 
题组二　正、余弦(型)函数的单调性与最值
5.()函数y=sinx+π4+cosπ4-x的最大值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3
C.2 D.1
6.(2020天津一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若对任意x∈R,f(x)≤fπ6恒成立,且fπ2>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
7.(2020福建八县(市)一中高一上期末联考,)已知ω>0,函数f(x)=sinωx+π4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.0,12 B.(0,2]
C.12,54 D.12,34
8.(2020北京师大附中高一上期末,)已知函数f(x)=2sin2x-π3+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调区间;
(3)若对任意x∈R,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,试求m的取值范围.















题组三　正、余弦(型)函数性质的综合运用
9.(2019北京东城高一上期末,)sin 1,sin 2,sin 3的大小关系是(　　)
A.sin 1 B.sin 3 C.sin 2 D.sin 3 10.(2020吉林五地六校高一上期末,)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=0,且y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称,f(2)=4,则f(2 014)=(　　)
A.0 B.-4
C.-8 D.-16
11.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,)已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos x-x2,则下列条件中能使f(x1) A.-π≤x1 C.|x1|>|x2| D.x12≤x22
12.(多选)()对于函数f(x)=ax3+bsin x+c(a,b∈R,c∈Z,x∈R),选取a,b,c的一组值去计算f(-1)和f(1)的值,所得出的正确结果可能是(深度解析)
A.2和6 B.3和9
C.4和11 D.5和13





13.()已知函数f(x)=2sin(2x+φ)-π2<φ<π2,且f(x)的图象过点(0,1).
(1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值;
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(3)求函数f(x)的单调增区间.








14.()已知函数f(x)=2cos2x-π4,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈-π8,π2时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.








15.()已知f(x)=-2asin2x+π6+2a+b,x∈π4,3π4,是否存在有理数a,b,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.





















第2课时　正切函数的性质与图象
基础过关练
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.函数y=3tan2x+π4的定义域是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.x|x≠kπ+π2,k∈Z B.x|x≠kπ2-3π8,k∈Z
C.x|x≠kπ2+π8,k∈Z D.x|x≠kπ2,k∈Z
2.已知x∈[0,2π],则函数y=tanx+-cosx的定义域为(　　)
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
3.已知函数y=tanx2+π3,x∈0,π3∪π3,π,则其值域为　　　　　　　　. 
4.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4,则其值域为　　　　. 
题组二　正切(型)函数的图象及其应用
5.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象是(　　)

6.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点π12,0,则φ可以是(　　)
A.-π6 B.π6 C.-π12 D.π12
7.根据正切函数的图象,写出使不等式3+3tan 2x≥0成立的x的取值集合.






题组三　正切(型)函数的性质及其应用
8.函数y=tan x2是(　　)
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
9.(2019江西景德镇一中高一期中)函数y=2tan3x-π4的图象的对称中心不可能是(　　)
A.π12,0 B.-13π4,0
C.5π4,0 D.7π36,0
10.函数y=2tanπ6-2x的一个单调递减区间是(　　)
A.-π6,π2 B.0,π2
C.π3,5π6 D.5π6,5π3
11.下列正切值中,比tanπ5的值大的是(　　)
A.tan-π7 B.tan9π8
C.tan 35° D.tan(-142°)
12.已知函数f(x)=3tan12x-π3.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)探究f(x)的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性.




能力提升练
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.(2020北京西城高一上期末联考,)如果tanx+π3=0(x>0),那么x的最小值是　　　　. 
2.(2020吉林五地六校高一上期末,)函数y=log12tanx的定义域是　　　　　　　. 
题组二　正切(型)函数的图象及其应用
3.()如图所示,函数y=cos x|tan x|0≤x<3π2且x≠π2的图象是(　　)

4.(2019安徽宿州十三所重点中学高一期末联考,)函数y=|tan x|与直线y=1的两个相邻交点之间的距离是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.π4 B.π3 C.π2 D.π
5.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)设函数f(x)=tanx,x∈2kπ-π2,2kπ+π2,|cosx|,x∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上解的个数是(　易错　)
A.7 B.8 C.9 D.10
题组三　正切(型)函数的性质及其应用
6.(2019黑龙江哈尔滨三中高一上期末,)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1)在区间0,2π3上的最大值为3,则ω=(　　)
A.12 B.13 C.23 D.34
7.(2020河南鹤壁高级中学高一月考,)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若fπ3=1,则f-π3=(　　)
A.1 B.-1 C.3 D.-3
8.(多选)()下列关于函数y=tanx+π3的说法正确的是(　　)
A.在区间-π6,5π6上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点π6,0成中心对称
D.图象关于直线x=π6成轴对称
9.(2019天津一中高一上期末质量调查,)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 018,则f(2)=　　　　. 
10.(2020广西柳铁一中高二期中,)若“∀x∈0,π4,tan x-1≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　. 
11.(2019黑龙江双鸭山一中高一上期末,)tan2x+π3≥3的解集为　　　　　　　. 
12.(2020山西大同一中高一期末,)已知函数f(x)=tan(x+φ)|φ|<π2的图象的一个对称中心为π3,0,则φ的值为　　　　. 
13.(2019浙江衢州五校高一期末,)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠π2+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-π6,x∈[-1,3]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)x为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,3]上是单调函数的θ的取值范围.






















答案全解全析
7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦
函数的图象与性质
基础过关练
1.B　由“五点法”作图可知B正确.
2.D　函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称,故选D.
3.AC　在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在[0,2π]内的图象,

在[0,2π]内,当cos x=sin x时,x=π4或x=5π4,结合图象可知满足cos x>sin x的是0,π4和5π4,2π,故选AC.
4.答案　-2
解析　∵函数f(x)=-3+2cos x的图象经过点π3,b,
∴b=fπ3=-3+2cos π3=-3+2×12=-3+1=-2.
5.答案　2
解析　在同一平面直角坐标系中作函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象及直线y=-12,如图所示,由图知两函数图象有2个交点.

6.答案　3
解析　如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=1100x2在y轴右侧的图象.由图象知,函数y=sin x和y=1100x2的图象有3个交点,
故方程sin x=1100x2有3个正实数根.

7.解析　(1)列表:
x
0
π2
π
3π2
2π
cos x
1
0
-1
0
1
1-13cos x
23
1
43
1
23

(2)描点,并将它们用光滑的曲线连接起来,可得函数在[0,2π]上的图象,将函数图象不断向左、向右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到函数y=1-13cos x的图象,如图所示.

8.C　A,B中的函数是奇函数,D中的函数是非奇非偶函数,C中的函数符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以y=sin|x|是偶函数.
9.B　f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
∵sin2x-π2=-sinπ2-2x=-cos 2x,
∴f(x)=-cos 2x.
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
10.C　由题意,得sin(-φ)=±1,即sin φ=±1,因为φ∈[0,π],所以φ=π2,故选C.
11.答案　0
解析　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|,∴|a|=0,∴a=0.
12.C　将各项中x的取值分别代入函数解析式,得当x=π4时,y=2sin 0=0,不是最大(小)值,A错误;当x=π2时,y=2sinπ4=2,不是最大(小)值,B错误;当x=3π4时,y=2sinπ2=2,是最大值,C正确;当x=2π时,y=2sin-π4=-2,不是最大(小)值,D错误.故选C.
13.A　当y=sinx+π6取得最大或最小值时,x+π6=π2+kπ,k∈Z,则当k=0时,x=π3.
14.D　对于选项A,因为函数的最小正周期为π,所以2π|ω|=π,所以ω=±2,所以选项A不符合题意;
对于选项B, f7π12=sin2×7π12+π6=sin4π3=-32≠0,所以选项B不符合题意;
对于选项C, f7π12=cos2×7π12-π6=cos π=-1≠0,所以选项C不符合题意;
对于选项D, f7π12=sin2×7π12-π6=sin π=0,所以选项D符合题意.
15.答案　2或-2
解析　∵fπ6+x=fπ6-x,∴直线x=π6是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象的一条对称轴,∴fπ6=2或-2.
16.答案　4π;2kπ+π3,0(k∈Z)
解析　由f(x)=cosx2+π3,得T=2π12=4π;令x2+π3=kπ+π2,k∈Z,得x=2kπ+π3,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是2kπ+π3,0,k∈Z.
17.A　函数y=-23cos x的单调减区间是[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z),单调增区间是[2kπ,π+2kπ](k∈Z).∵x∈[0,2π],
∴y=-23cos x在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数.
18.A　b=sin41π6=sin6π+5π6=sin5π6=sinπ6=cosπ3,c=cos7π4=cosπ4,
因为π2>π3>π4>π12>0,且y=cos x在0,π2上是减函数,所以cos π12>cos π4>cos π3,即a>c>b,故选A.
19.答案　π8+kπ,5π8+kπ(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x-π4≤π+2kπ,k∈Z,
得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递减区间是π8+kπ,5π8+kπ(k∈Z).
20.答案　(-π,0]
解析　因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以-π 21.D　y=sin x-|sin x|
=0,0≤sinx≤1,2sinx,-1≤sinx<0,
当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,
因此函数的值域为[-2,0].
22.D　因为-π2≤x≤π2,
所以-π6≤x+π3≤5π6,
所以-12≤sinx+π3≤1,
所以-1≤2sinx+π3≤2,
即-1≤f(x)≤2,
所以f(x)有最大值2,最小值-1.
23.解析　(1)∵b>0,∴-b<0.
又cos2x+π6∈[-1,1],
∴f(x)max=b+a=32,f(x)min=-b+a=-12,∴a=12,b=1.
(2)由(1)知g(x)=-2sinx-π3,
∵sinx-π3∈[-1,1],
∴g(x)∈[-2,2],
∴g(x)的最小值为-2,此时sinx-π3=1,则x-π3=2kπ+π2,k∈Z,∴x=2kπ+5π6,k∈Z,故取最小值时x的集合为xx=2kπ+5π6,k∈Z.
能力提升练
1.B　∵f(-x)=-x·sin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),且x∈R,∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A,D;
∵f(2)=2sin 2+cos 2,
而sin 2>0,cos 2<0,且π2<2<3π4,
∴sin 2+cos 2>0,∴f(2)>0,排除C,故选B.
2.B　函数f(x)=sin|ωx|=sinωx,x≥0,-sinωx,x<0,ω为正数,∴f(x)的最小值是-1.如图所示,∵A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,∴|AB|min=T=2πω=2π,解得ω=1.故选B.

3.ACD　f(x)=4sin2x+π3=4cosπ2-2x+π3=4cos2x-π6,故A正确;由题意知最小正周期T=2π2=π,故B错误; fx-π6=4sin2x-π6+π3=4sin 2x,是奇函数,故C正确; fx+π12=4sin2x+π12+π3=4cos 2x,是偶函数,其图象关于y轴对称,故D正确.综上,ACD正确.
4.答案　{ω|ω=6k+1,k∈Z}
解析　函数f(x)=sinωx+π3(ω≠0)图象的对称轴方程为ωx+π3=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6ω(k∈Z),结合题意有kπ+π6ω=π6(k∈Z),整理可得ω的取值集合是{ω|ω=6k+1,k∈Z}.
5.A　由诱导公式得y=sinx+π4+cosπ4-x=sinx+π4+sinx+π4=2sinx+π4,
因为-1≤sinx+π4≤1,
所以-2≤2sinx+π4≤2,
因此函数的最大值为2,故选A.
6.C　因为对任意x∈R, f(x)≤fπ6恒成立,所以fπ6=sinπ3+φ=±1,则φ=π6或φ=7π6.当φ=π6时, f(x)=sin2x+π6,则fπ2=-12f(π)=-12,符合题意.故f(x)=sin2x+7π6.令2kπ+3π2≤2x+7π6≤2kπ+5π2,k∈Z,解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,即f(x)的单调递增区间是kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).故选C.
7.C　∵函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)在π2,π上单调递减,∴最小正周期T=2πω≥π,解得0<ω≤2.
∵f(x)=sinωx+π4的单调递减区间为π2+2kπ≤ωx+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,
即π4ω+2kπω≤x≤5π4ω+2kπω,k∈Z,
∴存在k∈Z,使π4ω+2kπω≤π2,5π4ω+2kπω≥π均成立,此时12+4k≤ω≤54+2k,k∈Z,
∴12≤ω≤54,即ω的取值范围是12,54,故选C.
8.解析　(1)函数f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)令-π2+2kπ<2x-π3<π2+2kπ,k∈Z,
得-π12+kπ 当k=0时,-π12 当k=1时,11π12 ∵x∈(0,π),
∴函数f(x)在(0,π)上的单调增区间为0,5π12,11π12,π.
同理,函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为5π12,11π12.
(3)∵f(x)=2sin2x-π3+1,
∴-1≤f(x)≤3,∴f(x)+2>0,
∴mf(x)+2m≥f(x)可化为m≥1-2f(x)+2,∴要使不等式恒成立,只需m≥1-2f(x)+2max即可.
∵-1≤f(x)≤3,
∴-1≤1-2f(x)+2≤35,∴m≥35.
9.D　由诱导公式得sin 2=sin(π-2),sin 3=sin(π-3),
又0<π-3<1<π-2<π2,且y=sin x在0,π2上为增函数,
∴sin(π-3) 因此sin 3 10.B　函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)=-f(x),∴f(x+12)=- f(x+6)=-[-f(x)] =f(x),∴函数f(x)的周期T=12.
∵y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称,
∴把y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得到y=f(x-1+1)=f(x)的图象关于(0,0)对称,
又函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,
∴f(2 014)= f(167×12+10)= f(10)=f(10-12)=f(-2)=-f(2)=-4,故选B.
11.AC　∵f(x)=cos x-x2,x∈[-π,π],
f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x),
∴f(x)是偶函数,易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减.
∴当-π≤x1 ∴A正确,B错误.
又f(x)是偶函数, f(x1) ∴|x1|>|x2|,∴x12>x22,
∴C正确,D错误.故选AC.
易错警示　偶函数在原点两侧对称的单调区间上的单调性相反,解题时要注意将自变量化到同一单调区间内.
12.ABD 　设F(x)=f(x)-c=ax3+bsin x,
∵F(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-(ax3+bsin x)=-F(x),x∈R,关于原点对称,∴F(x)是奇函数.∴F(-1)=-F(1).
又F(-1)=f(-1)-c, F(1)=f(1)-c,
∴f(-1)-c=-f(1)+c,
∴f(1)+f(-1)=2c.
由c∈Z知f(1)+f(-1)为偶数,
故A,B,D有可能正确,而4与11的和15为奇数,C不可能正确,因此选ABD.
思路探究　研究自变量取一对相反数时两函数值的关系时,常利用函数的奇偶性.对于不具有奇偶性的函数,常根据解析式的特点构造新的具有奇偶性的函数.解本题时要注意对条件c∈Z的应用.
13.解析　(1)函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
因为f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1,即sin φ=12.
又-π2<φ<π2,所以φ=π6.
(2)由(1)知, f(x)=2sin2x+π6,所以函数f(x)的最大值是2.
令2x+π6=π2+2kπ(k∈Z),
得x=π6+kπ(k∈Z),
所以f(x)取得最大值时,x的集合是x|x=π6+kπ,k∈Z.
(3)由(1)知, f(x)=2sin2x+π6.
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为-π3+kπ,π6+kπ(k∈Z).
14.解析　(1)因为f(x)=2cos2x-π4,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π,
令-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ,k∈Z,
得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-3π8+kπ,π8+kπ(k∈Z).
(2)易知f(x)=2cos2x-π4在区间-π8,π8上为增函数,在区间π8,π2上为减函数,
又f-π8=0,fπ8=2,fπ2=-1,
∴当a∈[0,2)时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根.
15.解析　存在.
∵π4≤x≤3π4,∴2π3≤2x+π6≤5π3,
∴-1≤sin2x+π6≤32.
假设存在有理数a,b,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1},
则当a>0时,-3a+2a+b=-3,2a+2a+b=3-1,
解得a=1,b=3-5(不合题意,舍去);
当a=0时, f(x)=b(不合题意,舍去);
当a<0时,2a+2a+b=-3,-3a+2a+b=3-1,
解得a=-1,b=1.故存在有理数a=-1,b=1,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}.
第2课时　正切函数的性质与图象
基础过关练
1.C　要使函数有意义,则2x+π4≠kπ+π2,k∈Z,即x≠kπ2+π8,k∈Z,
所以函数的定义域为xx≠kπ2+π8,k∈Z,故选C.
2.C　由题意知tanx≥0,-cosx≥0,0≤x≤2π,∴函数的定义域为π,3π2,故选C.
3.答案　-∞,-33∪[3,+∞)
解析　∵x∈0,π3∪π3,π,
∴x2+π3∈π3,π2∪π2,5π6.
令t=x2+π3,则y=tan t,t∈π3,π2∪π2,5π6,其图象如图所示.

由图象可知所求函数的值域为-∞,-33∪[3,+∞).
4.答案　[-4,4]
解析　∵-π4≤x≤π4,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,易知函数在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4;当t=1,即x=π4时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].
5.A　当x=2π3时,tan12×2π3-π3=0,故排除C,D;当x=5π3时,tan12×5π3-π3=tanπ2,无意义,故排除B.故选A.
6.A　因为函数y=tan(2x+φ)的图象过点π12,0,所以0=tan2×π12+φ,
所以tanπ6+φ=0,
所以π6+φ=kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z),所以φ可以是-π6,故选A.
7.解析　不等式3+3tan 2x≥0可转化为tan 2x≥-3.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈-π2,π2的图象和直线y=-3.

由图象得,在区间-π2,π2内,不等式tan x≥-3的解集是x|-π3≤x<π2,
∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+π2,k∈Z内,不等式tan x≥-3的解集是x|kπ-π3≤x 令kπ-π3≤2x 得kπ2-π6≤x ∴使不等式3+3tan 2x≥0成立的x的取值集合是x|kπ2-π6≤x 8.B　 该函数为奇函数,其最小正周期为2π.故选B.
9.D　对于函数y=2tan3x-π4,令3x-π4=kπ2,k∈Z,得x=kπ6+π12,k∈Z,
所以函数y=2tan3x-π4的图象的对称中心为kπ6+π12,0,k∈Z,
取k=0,得对称中心为π12,0;
取k=-20,得对称中心为-13π4,0;
取k=7,得对称中心为5π4,0.
故对称中心不可能是7π36,0.
10.C　 y=2tanπ6-2x=-2tan2x-π6.令-π2+kπ<2x-π6<π2+kπ,k∈Z,得-π6+kπ2 11.D　 正切函数y=tan x在区间-π2,π2上单调递增,所以tan-π7tan 36°=tanπ5.故选D.
12.解析　(1)令12x-π3≠π2+kπ,k∈Z,得x≠5π3+2kπ,k∈Z,
∴f(x)的定义域为xx≠5π3+2kπ,k∈Z,值域为R.
(2)f(x)为周期函数.
f(x)的最小正周期T=π12=2π.
易知f(x)为非奇非偶函数.
令-π2+kπ<12x-π3<π2+kπ,k∈Z,得-π3+2kπ ∴函数f(x)的单调递增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπ,k∈Z,无单调递减区间.
令12x-π3=kπ2(k∈Z),得x=kπ+2π3(k∈Z),∴函数f(x)的图象的对称中心是kπ+2π3,0(k∈Z).
能力提升练
1.答案　2π3
解析　由tanx+π3=0可得x+π3=kπ(k∈Z),则x=kπ-π3(k∈Z),
由于x>0,故取k=1,可得x的最小值为2π3.
2.答案　x|kπ 解析　要使函数有意义,必须使log12tan x≥0,即log12tan x≥log121,
∴0 ∴函数的定义域是xkπ 3.C　当0≤x<π2时,y=cos xtan x=sin x≥0,排除B,D;当π2 4.C　易知函数y=|tan x|的最小正周期为π,且由|tan x|=1可得x=kπ±π4(k∈Z),
所以函数y=|tan x|与直线y=1的两个相邻交点之间的距离为函数y=|tan x|的半个周期,即为π2.
5.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图象知,f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.

易错警示　作图时要注意当0 6.A　因为x∈0,2π3,且0<ω<1,
所以0≤ωx≤2ωπ3<2π3,
又f(x)为定义域上的增函数,
所以f(x)max=tan2ωπ3=3=tanπ3,
所以2ωπ3=π3,解得ω=12.
7.C　∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), fπ3=1,
∴fπ3=mtanπ3-ksinπ3+2=3m-32k+2=1,
∴3m-32k=-1,
∴f-π3=mtan-π3-ksin-π3+2=-3m+32k+2=3.
8.BC　令kπ-π2 9.答案　-2 020
解析　根据题意,函数f(x)=asin x+btan x-1,设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x,
则g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),
所以函数g(x)为奇函数,
所以g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0,
又f(-2)=2 018,所以f(2)=-2 020.
10.答案　0
解析　由x∈0,π4,可得-1≤tan x-1≤0,所以由“∀x∈0,π4,tan x-1≤m”是真命题可得m≥0,即m的最小值为0.
11.答案　x|kπ2≤x 解析　由题可得kπ+π3≤2x+π3 所以kπ≤2x 所以kπ2≤x 所以不等式的解集为xkπ2≤x 12.答案　-π3或π6
解析　因为π3,0是函数f(x)的图象的一个对称中心,所以π3+φ=kπ2,k∈Z,所以φ=kπ2-π3,k∈Z,由于|φ|<π2,故取k=0或k=1,得φ=-π3或φ=π6.
13.解析　(1)当θ=-π6时, f(x)=x2-233x-1=x-332-43.
∵x∈[-1,3],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=33时, f(x)min=-43;
当x=-1时, f(x)max=233.
(2)由题可知g(x)=x-1x+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴0=g(-x)+g(x)=-x+1x+2tan θ+x-1x+2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,3]上是单调函数,
∴-tan θ≥3或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-3或tan θ≥1,
∴-π2+kπ<θ≤-π3+kπ,k∈Z或π4+kπ≤θ<π2+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是-π2+kπ,-π3+kπ∪π4+kπ,π2+kπ,k∈Z.