高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质第2课时课时作业

第7章三角函数

7.3　三角函数的图象与性质

7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= (　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

答案B

解析由函数的图象可得-x0=,解得ω=4.

2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R其中ω>0,|φ|<的最小正周期是π,且f(0)=,则(　　)

A.ω=,φ= B.ω=,φ=

C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=

答案D

解析∵=π,∴ω=2.∵f(0)=,∴2sin φ=.

∴sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.

3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(　　)

A.y=4sin4x+ B.y=2sin2x++2

C.y=2sin4x++2 D.y=2sin4x++2

答案D

解析由题意可得,A==2,m==2,ω==4,∴φ=kπ+(k∈Z),

∴当k=1时,φ=,

∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.

4.(2021新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sinx-的增区间是(　　)

A. B. 

C. D.

答案A

解析由题意知x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sin的增区间为,∵,∴是函数f(x)的一个增区间.故选A.

5.(多选)(2020江苏连云港高一期末)将函数f(x)=3sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的(　　)

A.周期是π

B.增区间是(k∈Z)

C.图象关于点-,0对称

D.图象关于直线x=对称

答案ABC

解析将函数f(x)=3sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)=3sin2x-.

对于选项A,函数g(x)的周期为=π,故A正确;

对于选项B,令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

即函数g(x)的增区间是,k∈Z,故B正确;

对于选项C,令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即函数g(x)的对称中心为,0,k∈Z,故C正确;

对于选项D,令2x-=kπ+,k∈Z,则x=,k∈Z,即函数g(x)的对称轴方程为x=,k∈Z,故D错误.

6.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值为　　　　　. 

答案-

解析由题意可得sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).

因为-<φ<,所以k=0,φ=-.

7.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程是　　　　. 

答案x=kπ+,k∈Z

解析∵x-+kπ,k∈Z,∴x=+kπ,k∈Z.

8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的周期为π,且图象上一个最低点为M,-2.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.

解(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M,得A=2.由周期T=π,得ω==2.

由点M在图象上,得2sin=-2,

即sin=-1,所以+φ=2kπ-(k∈Z),

故φ=2kπ-(k∈Z),

又φ∈,所以k=1,φ=.

所以函数的解析式为f(x)=2sin.

(2)因为x∈,所以2x+,

所以当2x+,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;

当2x+,即x=时,函数f(x)取得最大值.

关键能力提升练

9.若将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度之后得到的图象与原图象的对称中心重合,则正实数ω的最小值是(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度之后,可得y=sinsinωx+的图象.由于所得的图象与原图象的对称中心重合,故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍,所以=k·(k∈Z),故ω=(k∈Z),则正实数ω的最小值为.

10.(2020江苏南通高一期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论不正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=对称

B.函数f(x)的图象关于点-,0对称

C.函数f(x)在区间上为增函数

D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为

答案A

解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,,因此T=π,所以ω==2,

所以f(x)=2sin(2x+φ),过点,-2,

因此+φ=+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,

所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.

当x=时,f=-1,故A错;

当x=-时,f-=0,故B正确;

当x∈,2x+,所以f(x)=2sin2x+在x∈上为增函数,故C正确;

当-≤x≤时,2x+,所以y=1与函数y=f(x)的图象有4个交点,设这4个交点的横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.

11.设f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的定义域为R,T=,φ=,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)=2sin+1

B.f(x)=2sin-1

C.f(x)=-2sin-1

D.f(x)=2sin+1

答案A

解析因为-A+B=-1,A+B=3,所以A=2,B=1.

因为T=,所以ω=3.

又φ=,故f(x)=2sin+1.

12.

(2021江苏徐州一中调研)函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象的一部分如图所示,则它的解析式是(　　)

A.y=2sin 

B.y=2sin

C.y=2sin 

D.y=2sin

答案B

解析由图象知,A=2,T=2×=4,

∴ω=,∴解析式可写成y=2sin.

将看作函数图象的第一个特殊点代入上式,得+φ=2kπ,k∈Z.

∵|φ|<,∴φ=.

∴解析式为y=2sin,故选B.

13.(2021江苏宝应中学调研)若将函数y=sin2x-的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,则所得函数g(x)图象的一个对称中心为(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析将y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可以得到y=sin=sin的图象,再向右平移个单位长度可以得到y=sin=sin的图象,因此,g(x)=sin,由g=sin 0=0,选项A正确.

14.(多选)函数y=sin的图象在(-π,π)上的对称轴方程有(　　)

A.x=- B.x=

C.x= D.x=-

答案AC

解析∵2x-+kπ,k∈Z,

∴x=,k∈Z,

k=-2时,x=-;k=-1时,x=-;

k=0时,x=;k=1时,x=.

故选AC.

15.(多选)(2021山东泰安调研)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0且ω∈Z)的图象关于点对称,且在区间上为增函数,则ω的取值可以为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案AD

解析函数f(x)=sin ωx的图象关于点对称,且在上为增函数,

所以解得

所以ω的取值为3,6.

16.(多选)已知函数f(x)=sin,以下命题中为真命题的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=对称

B.x=-是函数f(x)的一个零点

C.函数f(x)的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D.函数f(x)在上是增函数

答案ABD

解析令2x+=kπ+(k∈Z),当k=0时,x=,即函数f(x)的图象关于直线x=对称,选项A正确;令2x+=kπ(k∈Z),当k=0时,x=-,即x=-是函数f(x)的一个零点,选项B正确;2x+=2,故函数f(x)的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到,选项C错误;若x∈,则2x+,故f(x)在上是增函数,选项D正确.

17.(2021江苏昆山中学调研)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则ω=　　　　　;φ=　　　　　. 

答案1　

解析由题意得周期T=2=2π,

∴2π=,即ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),

∴f=sin=±1.

∵0<φ<π,∴<φ+,

∴φ+,∴φ=.

18.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,,则x0=　　　　. 

答案π

解析由f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈0,,则x0=π.

19.已知函数f(x)=2sin+a.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)的减区间;

(3)当x∈时,f(x)的最小值为-2,求a的值.

解(1)易知T==π.

(2)f(x)=2sin+a=2sin+a.

由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的减区间为(k∈Z).

(3)由0≤x≤,得≤2x+,所以f(x)的最小值为-2+a=-2.所以a=0.

20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一个对称中心到相邻对称轴的距离为,且图象上有一个最低点为M,-3.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)在[0,π]上的增区间.

解(1)由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为,可知函数f(x)的周期为π,所以ω==2.又函数f(x)图象上有一个最低点为M,|φ|<,所以A=3,2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=,所以f(x)=3sin.

(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],则可得函数f(x)的增区间为,,π.

学科素养拔高练

21.已知P(1,)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,且f(9-x)=f(9+x),x∈R,曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,求函数f(x)的解析式.

解∵点P(1,)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,∴A=,且直线x=1是曲线的一条对称轴.∵f(9-x)=f(9+x),x∈R,

∴直线x=9也是曲线的一条对称轴.又曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,∴直线x=1,直线x=9是曲线的两条相邻对称轴,

∴=9-1=8,∴T=16,∴=16,∴ω=.

∴f(x)=sinx+φ.

∵P(1,)是曲线上的一个最高点,

∴×1+φ=2kπ+(k∈Z),

∴φ=2kπ+(k∈Z).

∵|φ|<π,∴φ=.

故函数f(x)的解析式为f(x)=sinx+.