高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词同步测试题，共7页。试卷主要包含了2 全称量词与存在量词等内容，欢迎下载使用。

§2 常用逻辑用语


2.2 全称量词与存在量词


知识点1 全称量词命题与存在量词命题的概念


1.☉%9￥0*￥7@0%☉(2020·黄冈中学检测)下列命题中全称量词命题的个数为( )。


①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等。


A.0B.1C.2D.3


答案：C


解析：①②满足“对所有的…都成立”的特点,是全称量词命题,③含有“存在”,是存在量词命题。


2.☉%30@33￥*@%☉(2020·合肥168中学周练)下列命题:


①有的质数是偶数;


②与同一平面所成的角相等的两条直线平行;


③与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。


其中是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 。(只填序号)


答案：②③ ①


解析：根据所含量词可知②③是全称量词命题,①是存在量词命题。


3.☉%@@82**77%☉(2020·黄冈中学过关训练)用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题:


(1)实数的平方大于或等于0: ;


答案：∀x∈R,x2≥0


(2)存在一对实数,使3x-2y+1≥0成立: 。


答案：∃(x,y),x∈R,y∈R,3x-2y+1≥0


4.☉%￥5*5#@56%☉(2020·绵阳南山中学月考)下列命题,是全称量词命题的是 ;是存在量词命题的是 。


①正方形的四条边相等;


②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;


③正数的平方根不等于0;


④至少有一个正整数是偶数。


答案：①②③ ④


解析：①是指所有的正方形的四条边相等,②是指任何含有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形,③是指任何正数的平方根不等于0,都有全部的含义,所以都是全称量词命题;而④至少有一个正整数是偶数,含有存在量词“有一个”,属于存在量词命题。故全称量词命题有①②③,存在量词命题有④。


知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判定


5.☉%*@*4#033%☉(2020·长沙一中月考)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )。


A.每一个二次函数的图像都开口向上


B.存在一条直线与两个相交平面都垂直


C.存在一个实数x,使x2-3x+6<0


D.对任意c≤0,若a≤b+c,则a≤b


答案：D


解析：对于A,该命题为全称量词命题,由二次函数图像及性质可得该命题是假命题;对于B,该命题是存在量词命题,根据空间中线面的位置关系可得该命题是假命题;对于C,存在一个实数x,使x2-3x+6<0是存在量词命题,由于x2-3x+6=x-322+154>0恒成立,故该命题是假命题;对于D,由题意得该命题为全称量词命题,对任意c≤0,若a≤b+c,则a-b≤c≤0,故a≤b,所以是真命题。


6.☉%#5@03@9#%☉(2020·南昌二中周练)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )。


A.每一个锐角三角形的内角都是锐角


B.至少有一个实数x,使x2≤0


C.两个无理数的和必是无理数


D.存在一个负数x,使1x>2


答案：B


解析：对于A,锐角三角形中的内角都是锐角,故为全称量词命题;对于B,至少有一个实数x,使x2≤0,是存在量词命题,并且x=0满足题意,故为真命题;对于C,∵2+(2-2)=2,显然两个无理数的和必是无理数不正确,是假命题;对于D,为存在量词命题,存在一个负数x,使1x>2,显然不正确,为假命题。综上所述,故选B。


7.☉%6@09**7@%☉(多选)(2020·会宁一中月考)下列命题中的假命题是( )。


A.存在x∈N,使4x<-3B.存在x∈Z,使2x-3=0


C.对任意x∈R,2x>x2D.对任意x∈R,x2+2>0


答案：ABC


解析：对于选项A,使4x<-3成立的x值满足x<-34,故没有这样的自然数使其成立,A为假命题;对于选项B,可解得x=32,故B为假命题;对于选项C,取x=1,2x>x2不成立,故C为假命题;对于选项D,当x∈R时,x2≥0,∴x2+2≥2>0,故D为真命题,故选ABC。


8.☉%24#@*72@%☉(2020·石家庄中学周练)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假:


(1)对任意非零实数x1,x2,若x11x2;


答案：解:该命题是全称量词命题,存在x1=-1,x2=1,x1

(2)∃x∈R,使得x2+1=0。


答案：该命题为存在量词命题,对任意x∈R,x2+1>0恒成立,


∴该命题是假命题。


9.☉%#*086*0#%☉(2020·六安一中周练)用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,并判断其真假:


(1)实数的平方大于或等于0;


答案：解:这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”。改写后命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题。


(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;


答案：改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题。如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立。


(3)勾股定理。


答案：这是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理。


改写后命题为:∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2,它是真命题。


知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定


10.☉%*29**4*0%☉(2020·太和一中月考)命题“任意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )。


A.任意x∈(-∞,0),x3+x<0


B.任意x∈(-∞,0),x3+x≥0


C.存在x∈[0,+∞),x3+x<0


D.存在x∈[0,+∞),x3+x≥0


答案：C


解析：命题“任意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是“存在x∈[0,+∞),x3+x<0”。


11.☉%8*0￥*6#3%☉(2020·陕师大附中检测)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )。


A.所有实数的平方都不是正数


B.有的实数的平方是正数


C.至少有一个实数的平方不是正数


D.至少有一个实数的平方是正数


答案：C


解析：∵“全称量词命题”的否定一定是“存在量词命题”,∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”。故选C。


12.☉%*68￥￥#91%☉(2020·南郊中学月考)已知命题q:∀x∈R,x2>0,则( )。(┐p为命题p的否定)


A.命题┐q:∀x∈R,x2≤0为假命题


B.命题┐q:∀x∈R,x2≤0为真命题


C.命题┐q:∃x∈R,x2≤0为假命题


D.命题┐q:∃x∈R,x2≤0为真命题


答案：D


解析：全称量词命题的否定是将“∀”改为“∃”,然后再否定结论。又当x=0时,x2≤0成立,所以┐q为真命题。故选D。


13.☉%￥26@3￥#0%☉(2020·和县一中检测)命题“∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”的否定是( )。


A.∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0


B.∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0


C.∀(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0


D.∀(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0


答案：C


解析： ∃(x,y)的否定是∀(x,y),2x+3y+3<0的否定是2x+3y+3≥0,故选C。


14.☉%131￥1*@#%☉(2020·广丰一中月考)命题“∃x∈R,x3-x2+1>0”的否定是( )。


A.∃x∈R,x3-x2+1<0


B.∀x∈R,x3-x2+1≤0


C.∃x∈R,x3-x2+1≤0


D.不存在x∈R,x3-x2+1>0


答案：B


解析：由存在量词命题的否定的定义可得B正确。


15.☉%￥#@#0254%☉(2020·临川十中过关测试)写出下列命题的否定并判断其真假:


(1)不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根;


答案：解:这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x+m=0都有实数根”,其否定为“存在实数m,使得x2+x+m=0没有实数根”,注意到当Δ=1-4m<0,即m>14时,一元二次方程没有实根,因此其否定是真命题。


(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;


答案：命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,是假命题。


(3)某些梯形的对角线互相平分;


答案：命题的否定是“任意一个梯形的对角线都不互相平分”,是真命题。


(4)被8整除的数能被4整除。


答案：命题的否定是“存在一个数能被8整除,但不能被4整除”,是假命题。


题型 由全称量词命题和存在量词命题的概念求参数的取值范围


16.☉%1￥#*@024%☉(2020·郑州一中月考)已知命题“对任意x∈[1,2],x2-2ax+1>0”是真命题,则实数a的取值范围为( )。


A.-∞,54B.54,+∞


C.(-∞,1)D.(1,+∞)


答案：C


解析：由题意知不等式x2-2ax+1>0对x∈[1,2]恒成立,


∴a

∴g(x)min=1,∴a<1,∴实数a的取值范围为(-∞,1)。


17.☉%8@#6@￥84%☉(2020·南宁一中周练)若存在x∈R,使ax2+2x+a<0,则实数a的取值范围是( )。


A.a<1B.a≤1


C.-1

答案：A


解析：存在x∈R,使ax2+2x+a<0的否定为:对任意x∈R,都有ax2+2x+a≥0恒成立,


下面先求对任意x∈R,都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的取值范围:


(1)当a=0时,不等式可化为2x≥0,即x≥0,显然不符合题意;


(2)当a≠0时,有a>0,4-4a2≤0,解得a≥1,


所以存在x∈R,使ax2+2x+a<0的实数a的取值范围是a<1,答案选A。


18.☉%#￥426##5%☉(2021·黄冈中学月考)已知y=3ax2+6x-1,a∈R。


(1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有y≤0;


答案：证明:当a=-3时,y=-9x2+6x-1。


∵Δ=36-36=0,且函数图像的开口方向向下,


∴对任意x∈R都有y≤0。


(2)如果对任意x∈R,不等式y≤4x恒成立,求实数a的取值范围。


答案：解:由y≤4x对任意x∈R恒成立,得3ax2+6x-1≤4x对任意x∈R恒成立,即3ax2+2x-1≤0对任意x∈R恒成立。


①当a=0时,不等式为2x-1≤0,x≤12,即对任意x∈R不恒成立;


②当a≠0时,由题意得3a<0,Δ=4+12a≤0,解得a≤-13。


综上可得实数a的取值范围为-∞,-13。