高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.2 全称量词与存在量词第2课时导学案

2.2全称量词与存在量词

第2课时　全称量词命题和存在量词命题的否定

一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”

[问题]　请问探险家该如何保命？

知识点　全称量词命题与存在量词命题的否定

1．全称量词命题的否定

(1)全称量词命题的否定是存在量词命题；

(2)对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x)．

2．存在量词命题的否定

(1)存在量词命题的否定是全称量词命题；

(2)对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x)．

全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，x具有性质p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，x不具有性质p(x)”成立；

(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，x具有性质p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，x不具有性质p(x)”成立；

(3)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．　　　　

如何对省略量词的命题进行否定？

提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．

1．若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为(　　)

A．∃x＞0，x2－3x＋2≤0　 B．∃x≤0，x2－3x＋2≤0

C．∀x＞0，x2－3x＋2≤0  D．∀x≤0，x2－3x＋2≤0

答案：C

2．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么p的否定是________．

答案：∃x＞2，x3－8≤0

[例1]　(链接教科书第21页例6)(1)命题“∀x∈A，|x|＋1≥1”的否定是________．

(2)写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：

①∀x∈R，1－≤1；

②对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；

③正数的绝对值是它本身．

(1)[解析]　命题“∀x∈A，|x|＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是“∃x∈A，|x|＋1＜1”．

[答案]　∃x∈A，|x|＋1＜1

(2)[解]　①该命题的否定：∃x∈R，1－＞1，因为∀x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，所以这是一个假命题．

②该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题．

③该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．这是一个假命题．

1．对全称量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；

(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．

2．全称量词命题否定后的真假判断

全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．　　　　

[跟踪训练]

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|＋x2＜0　　 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2＜0  D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

解析：选C　对于全称量词命题的否定，要将命题中“∀”变为“∃”，则命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C.

2．命题“负数的平方是正数”的否定是(　　)

A．负数的平方不是正数

B．有些负数的平方是正数

C．所有负数的平方是正数

D．有些负数的平方不是正数

解析：选D　该命题为省略了全称量词的全称命题，故其否定：有些负数的平方不是正数．

[例2]　(链接教科书第22页例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：

(1)某些平行四边形是菱形；

(2)∃x∈R，x2＋1＜0；

(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

[解]　(1)该命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题．

(2)该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题．

(3)该命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．假命题．

1．对存在量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；

(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．

2．存在量词命题否定后的真假判断

存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．　　　　

[跟踪训练]

1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|>0  B．∃x∈R，|x|>0

C．∀x∈R，|x|≤0  D．∃x∈R，|x|≤0

解析：选C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.

2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)某些梯形的对角线互相平分；

(2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；

(3)在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等．

解析：(1)假命题．该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分．

(2)真命题．该命题的否定为：∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．

(3)假命题．该命题的否定为：在同圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等．

[例3]　已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　因为p的否定为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0为真命题，m＋x2－2x＋5＞0可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m＞－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞－4}．

[母题探究]

1．(变条件)本例条件中“∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0”变为“∃x∈R，m－x2＋2x－5>0”其余条件不变，求实数m的取值范围．

解：因为p的否定为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5＞0为真命题，m－x2＋2x－5＞0可化为m＞x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，m＞(x－1)2＋4成立，只需m＞4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞4}．

2．(变条件)本例条件变为“∀x∈R，m－x2＋2x－5＜0且为真命题”，求m的取值范围．

解：因为为真命题，所以m－x2＋2x－5＜0可化为m＜x2－2x＋5，即m＜(x－1)2＋4，所以m＜4，故实数m的取值范围为{m|m<4}．

1．注意p与p的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．

2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．　　　　

[跟踪训练]

(2021·烟台高一联考)命题“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

解析：“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，

则其否定：“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，

∴Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，

∴－2≤a≤2.

答案：[－2，2]

1．(多选)下列命题是假命题的是(　　)

A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0  B．∃x∈Q，x2＝3

C．∀x∈R，x2－1>0  D．∃x∈N，|x|≤0

解析：选ABC　对于A，x＝－1时，不合题意，A是假命题；

对于B，x＝±，B是假命题；

对于C，比如x＝0时，－1<0，C是假命题；D是真命题．

2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

解析：选C　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．

3．已知命题p：“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．

解：由题意可知，p的否定：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，为真命题，

等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解，

即a＝0或故a≤1.

故实数a的取值范围是{a|a≤1}．

4．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)对任意x∈R，x2－x＋≥0；

(2)所有的正方形都是矩形；

(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

解：(1)存在x∈R，x2－x＋＜0，假命题．

(2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．